La aguja horaria recorre \( 360^\circ \) en \( 12 \) horas, luego se mueve a \( 30^\circ/h \) y su posición en cada instante \( 0\leq t\leq 12 \) es \( 30 t \) (entendiendo que \( 0^\circ \) es la posición de las doce en punto).
Por otro lado, en la hora \( h \) en punto, el minutero esta en la posición \( 0^\circ \) y recorre \( 360^\circ \) en una hora, luego su posición en cada instante \( h\leq t\leq h+1 \) es \( 360(t-h) \) (pues \( t-h \) es el tiempo transcurrido desde la hora \( h \) en punto, y lo multiplicamos por la velocidad de avance para saber los grados que ha avanzado el minutero).
Por lo tanto, entre la hora \( h \) y la hora \( h+1 \) las dos agujas se encontrarán en el instante \( t \) que cumple \( 30 t = 360(t-h) \), y la solución es \( t = 12h/11 \).
Así pues, durante las primeras \( 12 \) horas, las manecillas se encuentran en los instantes:
\( \displaystyle 0,\qquad \frac{12}{11},\qquad \frac{24}{11},\qquad \frac{36}{11},\qquad \frac{48}{11},\qquad \frac{60}{11},\qquad \frac{72}{11},\qquad \frac{84}{11},\qquad \frac{96}{11},\qquad \frac{108}{11},\qquad \frac{120}{11},\qquad 12 \).
Son doce ocasiones, pero teniendo en cuenta que hemos contado tanto la ocasión \( t = 0 \) como \( t = 12 \). Si queremos considerar un periodo de \( 24 \) horas, no podemos contar \( t = 12 \) dos veces, con lo que en total obtenemos \( 23 \) ocasiones si contamos \( t = 0 \) y \( t = 24 \). Concretamente:
\( \displaystyle 0,\quad\frac{12}{11},\quad\frac{24}{11},\quad\frac{36}{11},\quad \frac{48}{11},\quad\frac{60}{11},\quad\frac{72}{11},\quad\frac{84}{11},\quad\frac{96}{11},\quad\frac{108}{11},\quad\frac{120}{11},\quad12, \)
\( \displaystyle \frac{144}{11},\quad\frac{156}{11},\quad\frac{168}{11},\quad\frac{180}{11},\quad\frac{192}{11},\quad\frac{204}{11},\quad\frac{216}{11},\quad\frac{228}{11},\frac{240}{11},\quad\frac{252}{11},\quad24 \)
Si no contamos el instante \( t=24 \) (que es lo razonable) quedan \( 22 \) encuentros.
