[geómetracat]

Muy interesante....

Sin embargo ¿podemos llevar el problema hasta convertirlo en una simple demsotración de que \( \sqrt[ 2]{2} \) es irracional de este modo?:

\( \displaystyle\frac{a^2}{(2b)^2}=2 \) de modo que \( \displaystyle\frac{a}{2b}=\sqrt[2 ]{2} \). Y aquí aplicamos una demostración sobre la irracionalidad de \( \sqrt[ 2]{2} \).

por ejemplo, esta:

suponemos que \( \sqrt[ 2]{2} \) es racional, entonces, \( \sqrt[ 2]{2}=\displaystyle\frac{c}{d} \), siendo \( c, d \) dos números coprimos entre sí. Entonces:

\( 2=\displaystyle\frac{c^2}{d^2} \), es decir, \( c^2=2·d^2 \). Sin embargo, cualquier número cuadrado, como lo es \( d^2 \), multiplicado simplemente por 2 nunca puede dar otro número cuadrado, acaso \( c^2 \). Para obtener un nº cuadrado a partir de otro número cuadrado siempre hay que múltiplicarlo por un número cuadrado. No hay más.

Conclusión, no existen esos \( a,b \in{N^+} \) porque \( \sqrt[ 2]{2} \) es un irracional

Sí, en efecto. De hecho, como \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \), es equivalente que \( \sqrt{2} \) sea irracional y que \( \sqrt{8} \) sea irracional.

Pero opino igual respecto a mi crítica: la demostración de que \( \sqrt{2} \) es irracional pasa por el argumento que das, y es más fácil probar directamente el problema del hilo (el argumento que da Juan Pablo, que es un argumento prácticamente igual al de la demostración de la irracionalidad de \( \sqrt{2} \)), que reducirlo a un problema de demostrar que una raíz es irracional donde que tienes que acabar demostrando usando un argumento parecido.

[Nub]

Muy interesante....

Sin embargo ¿podemos llevar el problema hasta convertirlo en una simple demsotración de que \( \sqrt[ 2]{2} \) es irracional de este modo?:

\( \displaystyle\frac{a^2}{(2b)^2}=2 \)...

Y ahí ya está, basta aplicar la regla de las potencias y sacar el cuadrado fuera en un paréntesis, no hace falta analizar si es irracional la raíz.

\( a^{2}=8b^{2}\Rightarrow \)

\( a^{2}=2\cdot2^{2}\cdot b^{2}\Rightarrow \)

\( a^{2}=2\cdot(2b)^{2}\Rightarrow \)

\( (\dfrac{a}{2b})^{2}=2 \)

Y sabemos que 2 no es un cuadrado perfecto, luego no puede ser.

Saludos.

Pero eso no seria lo que dijo Juan Pablo (O lo que yo interprete de el) osea es cuadrado perfecto cuando todos los factores aparecen una cantidad par de veces, y del otro lado de la igualdad no aparecen todos los factores una cantidad par

[feriva]

Muy interesante....

Sin embargo ¿podemos llevar el problema hasta convertirlo en una simple demsotración de que \( \sqrt[ 2]{2} \) es irracional de este modo?:

\( \displaystyle\frac{a^2}{(2b)^2}=2 \)...

Y ahí ya está, basta aplicar la regla de las potencias y sacar el cuadrado fuera en un paréntesis, no hace falta analizar si es irracional la raíz.

\( a^{2}=8b^{2}\Rightarrow \)

\( a^{2}=2\cdot2^{2}\cdot b^{2}\Rightarrow \)

\( a^{2}=2\cdot(2b)^{2}\Rightarrow \)

\( (\dfrac{a}{2b})^{2}=2 \)

Y sabemos que 2 no es un cuadrado perfecto, luego no puede ser.

Saludos.

Pero eso no seria lo que dijo Juan Pablo (O lo que yo interprete de el) osea es cuadrado perfecto cuando todos los factores aparecen una cantidad par de veces, y del otro lado de la igualdad no aparecen todos los factores una cantidad par

Sí, claro, es eso. En general, dada cualquier potencia “k” (sea 2 u otra) para que un número sea potencia perfecta “k”, todos los factores de su producto tienen que estar elevados a un múltiplo de “k”.

A fin de cuentas, lo que tiene que ocurrir es que se pueda sacar factor común “k” a las potencias; por ejemplo:

\( a^{15}*b^{30}*c^{60}=(a^{3}*b^{6}*c^{12})^{5} \)

Saludos.

[Nub]

Si tenemos un numero c, podemos descomponerlo en \( c=p_1^{\alpha}*...*p_r^{\alpha_r} \) al elevarlo al cuadrado queda \( c^2=p_1^{2\alpha}*...*p_r^{2\alpha_r} \) donde cada \( p_i \) aparece una cantidad par de veces
Ejemplo: \( C=2*3*11^3 \) luego \( C^2=2*2*3*3*11*11*11*11*11*11 \) el 2 aparece 2 veces (par) el 3 aparece 2 veces (par) y el 11 aparece 6 veces (par)

Volviendo a el ejercicio tenemos \( a=p_1^{\alpha}*...*p_r^{\alpha_r} \) luego \( a^2=p_1^{2\alpha}*...*p_r^{2\alpha_r} \)
y para b lo mismo \( b=b_1^{\beta}*...*b_r^{\beta_r} \) luego \( b^2=b_1^{2\beta}*...*b_r^{2\beta_r} \)

Teniendo \( a^2=8*b^2 \) podemos factorizar el 8 y remplazar lo de arriba

\( (p_1^{2\alpha}*...*p_r^{2\alpha_r})=2^3*(b_1^{2\beta}*...*b_r^{2\beta_r}) \)

Ahora técnicamente esta igualdad "debería" ser cierta pero mirando el lado derecho podemos ver que \( p_i \) aparece una cantidad par de veces, entonces el lado izquierdo también debería tener \( p_i \) que aparecen una cantidad par de veces pues es igual a el cuadrado de un numero y el cuadrado de un numero tiene sus factores que aparecen una cantidad par de veces, y bueno ya se puede ver que aparece un 2 tres veces, es decir una cantidad impar de veces, el peor caso es dentro de b este un 2, pero ese 2 va estar elevado a una cantidad par, entonces \( 2^3*2^2=2^5 \) y sigue siendo una cantidad impar, entonces la igualdad es falsa

En fin, esto esta bien?

[feriva]

Si tenemos un numero c, podemos descomponerlo en \( c=p_1^{\alpha}*...*p_r^{\alpha_r} \) al elevarlo al cuadrado queda \( c^2=p_1^{2\alpha}*...*p_r^{2\alpha_r} \) donde cada \( p_i \) aparece una cantidad par de veces
Ejemplo: \( C=2*3*11^3 \) luego \( C^2=2*2*3*3*11*11*11*11*11*11 \) el 2 aparece 2 veces (par) el 3 aparece 2 veces (par) y el 11 aparece 6 veces (par)

Volviendo a el ejercicio tenemos \( a=p_1^{\alpha}*...*p_r^{\alpha_r} \) luego \( a^2=p_1^{2\alpha}*...*p_r^{2\alpha_r} \)
y para b lo mismo \( b=b_1^{\beta}*...*b_r^{\beta_r} \) luego \( b^2=b_1^{2\beta}*...*b_r^{2\beta_r} \)

Teniendo \( a^2=8*b^2 \) podemos factorizar el 8 y remplazar lo de arriba

\( (p_1^{2\alpha}*...*p_r^{2\alpha_r})=2^3*(b_1^{2\beta}*...*b_r^{2\beta_r}) \)

Ahora técnicamente esta igualdad "debería" ser cierta pero mirando el lado derecho podemos ver que \( p_i \) aparece una cantidad par de veces, entonces el lado izquierdo también debería tener \( p_i \) que aparecen una cantidad par de veces pues es igual a el cuadrado de un numero y el cuadrado de un numero tiene sus factores que aparecen una cantidad par de veces, y bueno ya se puede ver que aparece un 2 tres veces, es decir una cantidad impar de veces, el peor caso es dentro de b este un 2, pero ese 2 va estar elevado a una cantidad par, entonces \( 2^3*2^2=2^5 \) y sigue siendo una cantidad impar, entonces la igualdad es falsa

En fin, esto esta bien?

Sí.
No vi esta respuesta, se me pasó.

Saludos.

[Nub]

Si tenemos un numero c, podemos descomponerlo en \( c=p_1^{\alpha}*...*p_r^{\alpha_r} \) al elevarlo al cuadrado queda \( c^2=p_1^{2\alpha}*...*p_r^{2\alpha_r} \) donde cada \( p_i \) aparece una cantidad par de veces
Ejemplo: \( C=2*3*11^3 \) luego \( C^2=2*2*3*3*11*11*11*11*11*11 \) el 2 aparece 2 veces (par) el 3 aparece 2 veces (par) y el 11 aparece 6 veces (par)

Volviendo a el ejercicio tenemos \( a=p_1^{\alpha}*...*p_r^{\alpha_r} \) luego \( a^2=p_1^{2\alpha}*...*p_r^{2\alpha_r} \)
y para b lo mismo \( b=b_1^{\beta}*...*b_r^{\beta_r} \) luego \( b^2=b_1^{2\beta}*...*b_r^{2\beta_r} \)

Teniendo \( a^2=8*b^2 \) podemos factorizar el 8 y remplazar lo de arriba

\( (p_1^{2\alpha}*...*p_r^{2\alpha_r})=2^3*(b_1^{2\beta}*...*b_r^{2\beta_r}) \)

Ahora técnicamente esta igualdad "debería" ser cierta pero mirando el lado derecho podemos ver que \( p_i \) aparece una cantidad par de veces, entonces el lado izquierdo también debería tener \( p_i \) que aparecen una cantidad par de veces pues es igual a el cuadrado de un numero y el cuadrado de un numero tiene sus factores que aparecen una cantidad par de veces, y bueno ya se puede ver que aparece un 2 tres veces, es decir una cantidad impar de veces, el peor caso es dentro de b este un 2, pero ese 2 va estar elevado a una cantidad par, entonces \( 2^3*2^2=2^5 \) y sigue siendo una cantidad impar, entonces la igualdad es falsa

En fin, esto esta bien?

Sí.
No vi esta respuesta, se me pasó.

Saludos.

Muchas gracias a todos

[Nub]

Tengo otro ejercicio muy parecido y no lo pude hacer con lo que dije yo... pero pensando en lo que dijo Juan Pablo, el (creo) se refería a que cuando 2|a entonces en la descomposición de a, había un factor 2, luego al elevarse al cuadrado ese factor 2 seria par, luego en la otra desigualdad el factor estaba elevado a la 3 y de ahí el absurdo.
Otra pregunta dentro de la descomposición de \( a \), no debería haber un \( 2^3 \)? , no lo puedo probar pues \( 2^3 \) no es primo y no puedo usar esa propiedad

Capaz me confunde la notacion, osea \( a=p_1^{\alpha}*...*p_r^{\alpha_r} \) y con 2|a yo me aseguro que dentro de a hay un 2, \( a=2*p_2^{\alpha_2}...*p_r^{\alpha_r} \) y con esta notacion estoy diciendo como que los \( p_i \) restantes son diferentes que 2, y yo pienso que debe haber un \( 2^3 \) (capaz esta mal)

[Nub]

Tengo otro ejercicio muy parecido y no lo pude hacer con lo que dije yo... pero pensando en lo que dijo Juan Pablo, el (creo) se refería a que cuando 2|a entonces en la descomposición de a, había un factor 2, luego al elevarse al cuadrado ese factor 2 seria par, luego en la otra desigualdad el factor estaba elevado a la 3 y de ahí el absurdo.
Otra pregunta dentro de la descomposición de \( a \), no debería haber un \( 2^3 \)? , no lo puedo probar pues \( 2^3 \) no es primo y no puedo usar esa propiedad

Capaz me confunde la notacion, osea \( a=p_1^{\alpha}*...*p_r^{\alpha_r} \) y con 2|a yo me aseguro que dentro de a hay un 2, \( a=2*p_2^{\alpha_2}...*p_r^{\alpha_r} \) y con esta notacion estoy diciendo como que los \( p_i \) restantes son diferentes que 2, y yo pienso que debe haber un \( 2^3 \) (capaz esta mal)

O creo que la verdadera pregunta es si puedo aplicar la propiedad con una potencia de primo, la propiedad es la siguiente, si p es primo y p|xy entonces \( p|x \) o \( p|y \), yo la quiero usar p^b|xy entonces p^b|x o \( p^b|y \)