[Nub]

Hola no se me ocurre como poder resolver el siguiente ejercicio

1) ¿existen \( a,b\in{\mathbb{Z^+}} \) tal que que

a) \( a^2=8b^2 \)

La idea era usar el T.F.A, lo unico que puedo ver por ahora es que en la descomposición en factores primos esta va a tener exponentes multiplo de 2 (por el cuadrado) y por la otra parte de la igualdad debería (creo) haber un \( 2^3=8 \)

Osea en si no se que hacer, no creo que deba meter numeros hasta ver si se cumplen

Gracias

[Juan Pablo Sancho]

Como \( 2|8  \) tenemos que \( 2|a^2  \) luego \( 2|a \) entonces en \( a^2 \) hay una cantidad par de divisores de dos que dividen a \( a^2 \).
En \( 8 \cdot b^2  \) hay una cantidad impar, luego no hay enteros \( a,b \in \mathbb{N}  \) que lo verifiquen.

[Pie]

Creo que se puede ver así también:

\[ a^2 = 8b^2 \Rightarrow \displaystyle\frac{a^2}{b^2} = 8 \Rightarrow{}\displaystyle\frac{a}{b} = \sqrt{8} \]

Pero si \( a \) y \( b \) son enteros su cociente no puede dar un número irracional..

Saludos.

Edito, que se podía poner más sencillo aún.

[feriva]

Hola no se me ocurre como poder resolver el siguiente ejercicio

1) ¿existen \( a,b\in{\mathbb{Z^+}} \) tal que que

a) \( a^2=8b^2 \)

La idea era usar el T.F.A, lo unico que puedo ver por ahora es que en la descomposición en factores primos esta va a tener exponentes multiplo de 2 (por el cuadrado) y por la otra parte de la igualdad debería (creo) haber un \( 2^3=8 \)

Osea en si no se que hacer, no creo que deba meter numeros hasta ver si se cumplen

Gracias

Sí, está bien la idea, lo puedes usar.

Si no quieres poner números particulares, pon “pes” con subíndices

\( A^{2}=p_{1}^{2}p_{2}^{2}p_{3}^{2}... \)

por la regla de las potencias es

\( A^{2}=(p_{1}p_{2}p_{3}...)^{2} \)

Por la misma razón un cubo es

\( B^{3}=(q_{1}q_{2}q_{3}...)^{3}=(q_{1}q_{2}q_{3}...)(q_{1}q_{2}q_{3}...)^{2} \).

Entonces

\( B^{3}A^{2}=(q_{1}q_{2}q_{3}...)(q_{1}q_{2}q_{3}...)^{2}(p_{1}p_{2}p_{3}...)^{2}= \)

\( (q_{1}q_{2}q_{3}...)(q_{1}q_{2}q_{3}...p_{1}p_{2}p_{3}...)^{2} \).

Pero \( (q_{1}q_{2}q_{3}...) \) es libre de cuadrados, ( https://es.wikipedia.org/wiki/Entero_libre_de_cuadrados ) y ya no funciona esa regla de las potencias.

(*No es el caso del problema, perdona, porque es 8, que no es libre de cuadrados; éste sería otro caso. El tuyo se demostraría factorizando  8=4*2)

\( (q_{1}q_{2}q_{3}...)(q_{1}q_{2}q_{3}...p_{1}p_{2}p_{3}...)^{2}\neq(q_{1}q_{2}q_{3}...q_{1}q_{2}q_{3}...p_{1}p_{2}p_{3}...)^{2} \).

Luego no es un cuadrado.

Saludos.

[geómetracat]

Creo que se puede ver así también:

\[ a^2 = 8b^2 \Rightarrow \displaystyle\frac{a^2}{b^2} = 8 \Rightarrow{}\displaystyle\frac{a}{b} = \sqrt{8} \]

Pero si \( a \) y \( b \) son enteros su cociente no puede dar un número irracional..

Saludos.

Edito, que se podía poner más sencillo aún.

El problema de esto es que normalmente para demostrar que \( \sqrt{8} \) es irracional se demuestra que \( a^2=8b^2 \) no tiene solución en enteros. De manera que tu prueba es circular, a no ser que des otra demostración de la irracionalidad de \( \sqrt{8} \) (que probablemente será más complicada que demostrar directamente el problema del hilo).

[Pie]

Creo que se puede ver así también:

\[ a^2 = 8b^2 \Rightarrow \displaystyle\frac{a^2}{b^2} = 8 \Rightarrow{}\displaystyle\frac{a}{b} = \sqrt{8} \]

Pero si \( a \) y \( b \) son enteros su cociente no puede dar un número irracional..

Saludos.

Edito, que se podía poner más sencillo aún.

El problema de esto es que normalmente para demostrar que \( \sqrt{8} \) es irracional se demuestra que \( a^2=8b^2 \) no tiene solución en enteros. De manera que tu prueba es circular, a no ser que des otra demostración de la irracionalidad de \( \sqrt{8} \) (que probablemente será más complicada que demostrar directamente el problema del hilo).

Cierto, estaba dando por sentado que sabemos que \( \sqrt{8} \) es irracional, pero para demostrarlo habría que demostrar que no hay enteros que satisfagan la igualdad. Sorry por el lapsus.

Saludos.

[Nub]

Como \( 2|8  \) tenemos que \( 2|a^2  \) luego \( 2|a \) entonces en \( a^2 \) hay una cantidad par de divisores de dos que dividen a \( a^2 \).
En \( 8 \cdot b^2  \) hay una cantidad impar, luego no hay enteros \( a,b \in \mathbb{N}  \) que lo verifiquen.

Hola Juan Pablo, no entendí unas cosas que diré después, pero mirando lo que me dijiste se me ocurrió algo (capaz es lo mismo pero dicho de otra forma ) en esencia usar lo cantidad par e impar.

Si tenemos un numero c, podemos descomponerlo en \( c=p_1^{\alpha}*...*p_r^{\alpha_r} \) al elevarlo al cuadrado queda \( c^2=p_1^{2\alpha}*...*p_r^{2\alpha_r} \) donde cada \( p_i \) aparece una cantidad par de veces
Ejemplo: \( C=2*3*11^3 \) luego \( C^2=2*2*3*3*11*11*11*11*11*11 \) el 2 aparece 2 veces (par) el 3 aparece 2 veces (par) y el 11 aparece 6 veces (par)

Volviendo a el ejercicio tenemos \( a=p_1^{\alpha}*...*p_r^{\alpha_r} \) luego \( a^2=p_1^{2\alpha}*...*p_r^{2\alpha_r} \)
y para b lo mismo \( b=b_1^{\beta}*...*b_r^{\beta_r} \) luego \( b^2=b_1^{2\beta}*...*b_r^{2\beta_r} \)

Teniendo \( a^2=8*b^2 \) podemos factorizar el 8 y remplazar lo de arriba

\( (p_1^{2\alpha}*...*p_r^{2\alpha_r})=2^3*(b_1^{2\beta}*...*b_r^{2\beta_r}) \)

Ahora técnicamente esta igualdad "debería" ser cierta pero mirando el lado derecho podemos ver que \( p_i \) aparece una cantidad par de veces, entonces el lado izquierdo también debería tener \( p_i \) que aparecen una cantidad par de veces pues es igual a el cuadrado de un numero y el cuadrado de un numero tiene sus factores que aparecen una cantidad par de veces, y bueno ya se puede ver que aparece un 2 tres veces, es decir una cantidad impar de veces, el peor caso es dentro de b este un 2, pero ese 2 va estar elevado a una cantidad par, entonces \( 2^3*2^2=2^5 \) y sigue siendo una cantidad impar, entonces la igualdad es falsa

¿Es correcto o dije cualquier cosa ?

Volviendo a lo tuyo, entiendo que \( 2|8 \) (obvio), tambien que \( 2|a^2 \) tipo queda algo asi \( a^2=2*2*2*b \), sea \(  q=2*2*b \) y \( a^2=2q \) luego que \( 2|a \) es por un corolario del lema de euclides y que en particular 2 sea primo
lo que no entiendo es a que te refieres a una cantidad par de divisores de 2, seria como lo que dije yo arriba, que sabemos que en a hay un factor primo 2 al menos pues 2|a y luego al elevarse al cuadrado ese factor quedaria a una potencia par?

[RDC]

Creo que se puede ver así también:

\[ a^2 = 8b^2 \Rightarrow \displaystyle\frac{a^2}{b^2} = 8 \Rightarrow{}\displaystyle\frac{a}{b} = \sqrt{8} \]

Pero si \( a \) y \( b \) son enteros su cociente no puede dar un número irracional..

Saludos.

Edito, que se podía poner más sencillo aún.

El problema de esto es que normalmente para demostrar que \( \sqrt{8} \) es irracional se demuestra que \( a^2=8b^2 \) no tiene solución en enteros. De manera que tu prueba es circular, a no ser que des otra demostración de la irracionalidad de \( \sqrt{8} \) (que probablemente será más complicada que demostrar directamente el problema del hilo).

Muy interesante....

Sin embargo ¿podemos llevar el problema hasta convertirlo en una simple demsotración de que \( \sqrt[ 2]{2} \) es irracional de este modo?:

\( \displaystyle\frac{a^2}{(2b)^2}=2 \) de modo que \( \displaystyle\frac{a}{2b}=\sqrt[2 ]{2} \). Y aquí aplicamos una demostración sobre la irracionalidad de \( \sqrt[ 2]{2} \).

por ejemplo, esta:

suponemos que \( \sqrt[ 2]{2} \) es racional, entonces, \( \sqrt[ 2]{2}=\displaystyle\frac{c}{d} \), siendo \( c, d \) dos números coprimos entre sí. Entonces:

\( 2=\displaystyle\frac{c^2}{d^2} \), es decir, \( c^2=2·d^2 \). Sin embargo, cualquier número cuadrado, como lo es \( d^2 \), multiplicado simplemente por 2 nunca puede dar otro número cuadrado, acaso \( c^2 \). Para obtener un nº cuadrado a partir de otro número cuadrado siempre hay que múltiplicarlo por un número cuadrado. No hay más.

Conclusión, no existen esos \( a,b \in{N^+} \) porque \( \sqrt[ 2]{2} \) es un irracional

   

[feriva]

Muy interesante....

Sin embargo ¿podemos llevar el problema hasta convertirlo en una simple demsotración de que \( \sqrt[ 2]{2} \) es irracional de este modo?:

\( \displaystyle\frac{a^2}{(2b)^2}=2 \)...

Y ahí ya está, basta aplicar la regla de las potencias y sacar el cuadrado fuera en un paréntesis, no hace falta analizar si es irracional la raíz.

\( a^{2}=8b^{2}\Rightarrow \)

\( a^{2}=2\cdot2^{2}\cdot b^{2}\Rightarrow \)

\( a^{2}=2\cdot(2b)^{2}\Rightarrow \)

\( (\dfrac{a}{2b})^{2}=2 \)

Y sabemos que 2 no es un cuadrado perfecto, luego no puede ser.

Saludos.

[RDC]

Muy interesante....

Sin embargo ¿podemos llevar el problema hasta convertirlo en una simple demsotración de que \( \sqrt[ 2]{2} \) es irracional de este modo?:

\( \displaystyle\frac{a^2}{(2b)^2}=2 \)...

Y ahí ya está, basta aplicar la regla de las potencias y sacar el cuadrado fuera en un paréntesis, no hace falta analizar si es irracional la raíz.

\( a^{2}=8b^{2}\Rightarrow \)

\( a^{2}=2\cdot2^{2}\cdot b^{2}\Rightarrow \)

\( a^{2}=2\cdot(2b)^{2}\Rightarrow \)

\( (\dfrac{a}{2b})^{2}=2 \)

Y sabemos que 2 no es un cuadrado perfecto, luego no puede ser.

Saludos.

En efecto feriva! Después de escribirlo me di cuenta de lo que dices... Pero me hizo gracia lo que habia planteado geometracat