[imaginaryboy]

¡Hola!

Quiero ver si la siguiente relación sobre \( \mathbb{N} \) es reflexiva, antisimétrica, simétrica y transitiva.
La relación esta dada por \( (x,y)\in{R} \Longleftrightarrow{} x>y \).
Hice las siguientes verificaciones, pero quisiera saber como las ven ustedes... sobre todo a la de transitividad ya que es la que más dudas me genera.
Casi me olvidaba. Para demostrar que no es una relación simétrica yo podría hacer una demostración por casos, es decir, con este tipo de demostración lo pruebo de manera más general, ¿no?

Reflexiva (xRx ∀x ∈ A):
x > x esto es falso, luego no se trata de una relación reflexiva.

Antisimétrica (∀ x,y ∈ A : xRy & yRx ⇒ x = y):
(x > y & y > x) ⇒ x = y.
False ⇒ x = y, luego la relación es antisimétrica.

Simétrica (∀ x,y ∈ A: xRy ⇒ yRx):
Contraejemplo: 1 > 2 ⇒ 2 > 1 lo cual es falso. No es simétrica.

Transitiva (∀ x,y,z ∈ A: xRy & yRz ⇒ xRz):
x>y & y>z ⇒ x>z
currificación: [p & q ⇒ r ≡ p ⇒ (q ⇒ r)],
true. Por ende es una relación transitiva.

Saludos.

[delmar]

Hola

La relación, no es reflexiva, es antisimétrica, no es simétrica y es transitiva. Veo un error tipográfico en la demostración que la relación no es simétrica, se parte que para una relación simétrica se cumple que \( \forall{(a,b)\in{R}}\Rightarrow{(b,a)\in{R}} \) aplicando para el par \( (2,1)\in{R}\Rightarrow{(1,2)\in{R}} \) pero es falso \( 1<2 \) entonces no es simétrica. En la demostración para la transitividad has utilizado lógica (no la manejo); pero no es necesario ni adecuada creo, una forma sería :

\( (x,y)\in{R}\Rightarrow{x>y} \)

\( (y,z)\in{R}\Rightarrow{y>z} \)

Sumando ambas inecuaciones \( x+y>y+z\Rightarrow{x>z}\Rightarrow{(x,z)\in{R}} \) luego es ....


Saludos

[imaginaryboy]

Hola delmar, que bonita y simple tu demostración para la transitividad.
Muchas gracias por las observaciones.
Saludos.