Hola buenas.
Estoy teniendo cierto problema al entender la suma y el producto en funciones escalonadas, y la verdad es que me vendría bastante bien un poco de ayuda.
Para que que me podáis ayudar a verlo un poco mejor dejo un ejercicio:
Sean \( f(x)=\left\|{x}\right\| \) y \( g(x)=\left\|{2x}\right\| \) dibujar \( h \) definida en el intervalo \( \left\{{-1,2}\right\} \) definida por la formula \( h(x)=f(x)+g(x) \)
Creo que lo que querías escribir es más bien
\( \displaystyle{
f(x)=\lfloor x \rfloor ,\quad g(x)=\lfloor 2x \rfloor
} \)
ya que la notación \( \|x\| \) se reserva para normas (y a veces seminormas), que es algo que creo aún no has visto. La función anterior \( \lfloor x \rfloor \) se denomina
función piso, y lo que hace es redondear \( x \) al entero \( n\leqslant x \) más cercano, por ejemplo \( \lfloor \tfrac{5}{2} \rfloor=2 \).
Además esto \( \{-1,2\} \) no representa nunca un intervalo en matemáticas, sino el conjunto con dos elementos \( -1 \) y \( 2 \). Quizá hayas querido escribir \( [-1,2] \) o \( (-1,2) \), notaciones las cuales sí representan intervalos de \( \mathbb{R} \).
Dicho lo anterior yo te diría que empezases dibujando \( f \) y \( g \) en el intervalo dado, para ello ve tomando algunos puntos de tal intervalo para ver cuáles son sus valores y tener una idea previa sobre cómo podría ser la gráfica de cada función. Una vez hecho eso no es difícil darse cuenta de qué gráfica tiene cada una de tales funciones.
Otra forma es intentar ver en qué intervalos de \( \mathbb{R} \) cada una de las funciones anteriores es constante: si \( n=\lfloor x \rfloor \) entonces \( x\in[n,n+1) \), de donde se deduce que la función piso es constante en cada intervalo de la forma \( [n,n+1) \). Ahora razona parecido para ver dónde es constante la función \( g \), y luego con eso ya puedes hallar la gráfica de \( h \).
