Hola, quisiera saber los errores que hay en este intento de demostración.
Si \( a>0 \) también \( 1/a>0 \).
\( a>0 \)
\( {\color{red}{a\cdot{a^{-1}}>0\cdot{a^{-1}}}} \)
\( a^{-1}\cdot{a}\cdot{a^{-1}}>0(a^{-1}\cdot{a}) \)
\( a^{-1}>0 \)
Por teorema sabemos que \( a^{-1}=1/a \), entonces \( 1/a>0 \)
El segundo paso, marcado en rojo, está mal: no puedes afirmar tal cosa sin más ya que eso supone que de antemano sabes que \( a^{-1}>0 \).
Puedes hacer la siguiente demostración por contradicción: primero observa que como \( a>0 \) uno de los axiomas de orden de los números reales dice que la proposición \( x\leqslant y\implies ax\leqslant ay \) es cierta para cualesquiera números reales \( x \) e \( y \). Si \( a^{-1}\leqslant 0 \) entonces, de la anterior proposición, se tiene que \( 1=a\cdot a^{-1}\leqslant a\cdot 0=0 \).
Entonces, si ya tienes a tu disposición el teorema que demuestra que \( 1>0 \) lo anterior sería una contradicción, lo que demuestra que es imposible que \( a^{-1}\leqslant 0 \), ergo \( a^{-1}>0 \). Si no conoces el anterior teorema entonces puedes intentar demostrarlo por ti mismo usando los axiomas que definen a los números reales.
