[ani_pascual]

Hola, tengo una duda sobre la siguiente propiedad, antes también les pregunto si existe otra demostración

Sean \( g=(ma,mb)\\d=(a,b) \)
Se tiene que
\( \left\{\begin{array}{l}d|a\\d|b\end{array}\right.\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}md|ma\\md|mb\end{array}\right.\Longrightarrow md|g \)
Por otra parte, como existen \( x,y\in \mathbb{Z} \) tales que \( d=ax+by \)
se tiene que
\( \left\{\begin{array}{l}g|ma\\g|mb\end{array}\right.\Longrightarrow
\left\{\begin{array}{l}g|max\\g|mby\end{array}\right.\Longrightarrow{g|(max+mby)}\Longleftrightarrow {g|md} \)
En definitiva, \( g=md \)

[Nub]

Entiendo el absurdo lo vi "formalmente" porque no podría ser diferente de 1, intuitivamente no tanto pero ta ahora me pregunto, como pasa de \( ac=cdx \) y\(  bc=cdy \) a mcd(ac,bc) seria el reciproco? es decir si tenes algo como \(  f=u*x \) y \( g=u*y \) con \( mcd(x,y)=1 \) entonces \( mcd(f,g)=u \)

PD: Todavía no vi el teorema fundamental de la aritmética, lo vi hace mucho en la escuela, pero no llegue todavía, capaz por eso no entiendo la parte intuitiva que dices

No sé si la palabra es recíproco (esto tendría que decirlo un matemático) pero la cuestión es que si sumas los dos números tendrás un resultado \( dk \) siendo “d” el mcd de ambos números. Siempre tiene que existir un factor común que es el "más grande", esto es muy intuitivo yo creo; por ejemplo, si sumamos estos dos números:

\( 210+50=260 \)

podemos hacer

\( 2(105+25)=260 \)

o podemos hacer también

\( 10(21+5)=260 \).

Y ya no podemos poner fuera del paréntesis un número más grande que 10; ¿por qué?, pues porque los números de dentro del paréntesis no tienen ningún factor en común; es decir, son coprimos. Si en vez de 21 y 5, ahí dentro, tuviéramos 63 y 15, podríamos sacar fuera el factor 3, poniendo así en el exterior del paréntesis un 30, pero 21 y 5 ya no tienen más factores comunes; 21=3·7 y 5=5.
Entonces, es absurdo que 21 y 5 pudieran tener primos en común y a la vez que el mcd (número que multiplica al paréntesis) no pudiera ser mayor en valor absoluto, porque sí podría serlo, sí que podríamos sacar otro factor común que multiplicara al paréntesis; sería imposible que fuese el máximo. 

Luego 10 es el máximo común divisor de 210 y 50.

El TFA es muy sencillo, simplemente dice que todo número entero se puede factorizar en primos; por ejemplo \( 18=2\cdot3\cdot3 \) Después también existen estas factorizaciones, \( 18=3\cdot6 \) \( 18=2\cdot9 \), pero ya no son todos los factores primos; con factores primos la factorización es única (sin tener en cuenta la propiedad conmutativa, es decir, que consideramos la misma factorización ésta \( 3\cdot3\cdot2 \), por ejemplo, que la anterior o colocados en el orden que sea).

Así, si dos números tienen mcd 1 y los multiplicamos por un cierto número “n” (a ambos) pues el mcd de esos números transformados será \( 1\cdot n \); y si el mcd fuera “n” y multiplicamos los dos por “m”, el mcd de los nuevos números será \( n\cdot m \), y así sucesivamente al multiplicarlos por lo que sea.

Análogamente, si los dividimos a los dos por un mismo “n”, pues los nuevos números tendrán un mcd más pequeño, en el sentido de que tendrán menos factores primos en común (primos repetidos y no repetidos, es decir, estoy hablando de la expresión del producto sin usar potencias para los primos; poniéndolos tal cual para contar cuántos hay incluidas las repeticiones, y así ver cuándo el mcd tiene más o menos primos.
Además de que, obviamente, al dividir, el valor del mcd será menor, porque siempre se entiende en valor absoluto, considerando los primos independientemente de su signo, como si fueran positivos siempre para esta cuestión).

Añado en spoiler la demostración clásica del teorema de Bézout, sólo por lo bonita que es; pues entre las demostraciones más sencillas, quizá sea una de las más bellas de toda la matemática (sencilla no quiere decir que se entienda a la primera, a mí me costó un poco, pero la voy a explicar con detalle). También añado detrás el enlace a otra mía, pero muy larga, pesada y fea

Spoiler

Sean \( a,b \) enteros con mcd=d.

Vamos a demostrar que existen enteros \( x,y \) tales que \( ax+by=d \) siendo “d” el máximo común divisor de (a,b) como se ha dicho.

Por comodidad, podemos elegir, por ejemplo, que a,b sean enteros positivos (pues eligiendo los signos convenientes para x,y siempre podremos igualar a un “d” entero positivo).

Tenemos que \( ax+by \) (sea “d” u otro) no puede ser cero, porque cero no es divisor de nadie (no puede ser cero salvo ax=-by, que es una tontería sin interés).

Entonces vamos a considerar el conjunto de los divisores (en el sentido de que son números distintos de cero) según esta forma \( ax+by \).

Queda claro que este conjunto tiene que tener un mínimo “m”, porque está acotado, ningún elemento podrá ser nunca menor que 1 (el mínimo podría ser 1,5, 7..., cualquier natural mayor que cero).

Luego podemos definir el mínimo como

\( m=ax_{0}+by_{0} \).

Se trata de demostrar que ese mínimo “m” es siempre el máximo común divisor; m=d.

Entonces hay que probar, primeramente, que “m” divide a \( d=mcd(a,b) \), con lo cual empezamos por probar que “m” divide a “a”:

Por el algortimo de la división tenemos que existe \( a=qm+r \), donde \( r<m \) (esto es bastante obvio).

Sustituyendo “m” por \( m=ax_{0}+by_{0} \), nos queda

\( a=q(ax_{0}+by_{0})+r\Rightarrow \)

\( a=qax_{0}+qby_{0}+r\Rightarrow \)

\( (1-qx_{0})a-qby_{0}=r\Rightarrow \)

Luego “r” tiene esta forma \( ax+by \); lo cual se ve simplemente haciendo \( x=(1-qx_{0}) \) y análogamente para el otro coeficiente de “b”.

Eso significa que “r” pertenece a este conjunto \( ax+by \) y, a la vez, como \( r<m \), es menor que el mínimo de ese conjunto; ¡pero esto es imposible!

Lo único que puede pasar es que sea r=0 (que en este caso sí puede ser porque es el resto cero, existe).

Luego si el resto es cero, esto implica que \( m \), el mínimo, divide a \( a \).

Análogamente se hace exactamente igual para “b”, se demuestra del mismo modo que “m” divide a “b”; y ambas cosas implican que “m” divide a “d”.

Al probar eso, hemos demostrado que aquí, \( m=ax_{0}+by_{0} \), “m” sólo puede ser igual a “d”, el máximo común divisor de (a,b), pues es el mínimo término independiente positivo de la combinación lineal; no puede ser mas pequeño. O sea, dado esto último, como “m” divide a “d”, m=d, no puede ser menor.

...

Resumiendo, llega a que el menor del conjunto de los números de esta forma \( ax+by \) es más pequeño que el mínimo de los números de esta forma \( ax+by \); luego tiene esa forma, pero no pertenece al conjunto, no es un divisor. ¿Qué es? El resto cero. Luego “m” divide a “d”.

Preciosa demostración.

Este teorema sirve principalmente para resolver ecuaciones diofánticas, sistemas de congruencias con el teorema chino del resto... Pero para estas demostraciones, para mí, es meter más letras de las necesarias, complicarlo. Pero, bueno, si lo hace así en los libros, pues así.
...
Yo tengo una demostración mía aquí, bastante larga y pesada, carente de esa genialidad:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=92222.msg373207#msg373207
[/sopiler]


Saludos.

[cerrar]

Gracias feriva ahora entendí la intuición.

Bueno, muchas gracias a todos