[Nub]

Hola
1) Sea \( n\in{\mathbb{N}} \) donde \( n \) en base 10 es \( a_ka_{k−1}...a_2a_1a_0 \) probar que

a) \( 2|n \Longleftrightarrow{ 2|a_0} \)

Directo: por hipotesis tenemos que \( n=2*q \), luego tenemos la representación en base 10 de \( n \), \( n=10^ka_k+...+10a_1*10^0a_o \)

Lo que se me ocurre aca es sacar factor comun 2, \( n=10^ka_k+...+10a_1+10^0a_o=n=(2*5)^ka_k+...+(2*5)a_1*2^0a_o=2(5^ka_k+...+5a_1+a_0) \) y ahora me doy cuenta que no sirvió para nada... pero tengo otra idea:

\( n=10^ka_k+...+10a_1*10^0a_o=2(5^ka_k+...+5a_1)+a_0 \) sabíamos por hipótesis que \( n=2q \)
\( 2(5^ka_k+...+5a_1)+a_0=2q \)
Aca probablemente halla un detalle o directamente es un error, divido ambos lados entre 2
\( (5^ka_k+...+5a_1)+\displaystyle\frac{a_0}{2}=2q \)

... pensé que podía despejar el 2, pero no , ¿habrá que suponer algo?

Gracias

[Juan Pablo Sancho]

Si \( n = a_ka_{k-1}\cdots a_1a_0 = a_ka_{k-1}\cdots a_10 + a_0 = a_ka_{k-1}\cdots a_1 \cdot 5 \cdot 2 + a_0 \)
Además tienes que si \( c| d+b \) y \( c|d  \) entonces \( c|b \)

[Nub]

Si \( n = a_ka_{k-1}\cdots a_1a_0 = a_ka_{k-1}\cdots a_10 + a_0 = a_ka_{k-1}\cdots a_1 \cdot 5 \cdot 2 + a_0 \)
Además tienes que si \( c| d+b \) y \( c|d  \) entonces \( c|b \)

No entendí , te falta las bases es decir los \( 10^k \) capaz te equivocaste escribiendo, también veo un 0 que no se porque esta ahí

[Juan Pablo Sancho]

Tanbien te faltaría ¿no?:

Hola
1) Sea \( n\in{\mathbb{N}} \) donde \( n \) en base 10 es \( \color{red}a_ka_{k−1}...a_2a_1a_0\color{black} \) probar que

Sólo he puesto \( a_k \cdots a_1a_0 = a_k \cdots a_1 0 + a_0 \) que simplemente para un numero cualquiera:
\( 578553 = 578550 + 3 \)
Además esto está mal:

\( n=10^ka_k+...+10a_1*10^0a_o=2(5^ka_k+...+5a_1)+a_0 \) sabíamos por hipótesis que \( n=2q \)
\( 2(5^ka_k+...+5a_1)+a_0=2q \)


Gracias

[Nub]

Tanbien te faltaría ¿no?:

creo que en realidad seria \( (a_{k}a_{k-1}...a_1a_0)_{10} \)

[Juan Pablo Sancho]

Lo puse como lo pusiste :

Hola
1) Sea \( n\in{\mathbb{N}} \) donde \( n \) en base 10 es \( a_ka_{k−1}...a_2a_1a_0 \) probar que

Mejor centrarse en el problema.

[Nub]

Además esto está mal:

\( n=10^ka_k+...+10a_1*10^0a_o=2(5^ka_k+...+5a_1)+a_0 \) sabíamos por hipótesis que \( n=2q \)
\( 2(5^ka_k+...+5a_1)+a_0=2q \)


Gracias

Si, ahora que lo dices veo que saque mal el factor comun (si es que no hice otra cosa mas mal) quedaría \( 2(2^{k-1}5^ka_k+...+5a_1) \)

[feriva]

Hola
1) Sea \( n\in{\mathbb{N}} \) donde \( n \) en base 10 es \( a_ka_{k−1}...a_2a_1a_0 \) probar que

a) \( 2|n \Longleftrightarrow{ 2|a_0} \)

Es que aquí (si interpreto bien, que no sé) has puesto un signo “por”, “*”. donde es “+”

\( n=10^{k}a_{k}+...+10a_{1}*10^{0}a_{o} \).

Directamente puedes quitar el 10 elevado a cero y sería así

\( n=10^{k}a_{k}+...+10a_{1}+a_{0} \).

Entonces lo partes en dos trozos y, de forma más resumida, queda de este modo:

\( n={\color{blue}10^{k}a_{k}+...+10a_{1}}+{\color{green}a}_{{\color{green}0}}={\color{blue}10A}+{\color{green}a}_{{\color{green}0}} \).

Dos divide a 10A, luego si divide a “n”, tiene que dividir también a \( a_{0} \); se ve fácilmente:

Si 2 divide a “n”, entonces “n” es par, \( n=2k \).

Ahora, despejando 10A, tenemos

\( 2k-10A=a_{0}\Rightarrow2(k-5A)=a_{0} \).

Luego como \( (k-5A)=\dfrac{a_{0}}{2} \) es entero, porque lo son k y 5A, entonces 2 divide a \( a_{0} \).

Y el recíproco es igual, se despeja y se saca factor común.

Saludos.

[Nub]

Hola
1) Sea \( n\in{\mathbb{N}} \) donde \( n \) en base 10 es \( a_ka_{k−1}...a_2a_1a_0 \) probar que

a) \( 2|n \Longleftrightarrow{ 2|a_0} \)

Es que aquí (si interpreto bien, que no sé) has puesto un signo “por”, “*”. donde es “+”

\( n=10^{k}a_{k}+...+10a_{1}*10^{0}a_{o} \).

Directamente puedes quitar el 10 elevado a cero y sería así

\( n=10^{k}a_{k}+...+10a_{1}+a_{0} \).

Entonces lo partes en dos trozos y, de forma más resumida, queda de este modo:

\( n={\color{blue}10^{k}a_{k}+...+10a_{1}}+{\color{green}a}_{{\color{green}0}}={\color{blue}10A}+{\color{green}a}_{{\color{green}0}} \).

Dos divide a 10A, luego si divide a “n”, tiene que dividir también a \( a_{0} \); se ve fácilmente:

Si 2 divide a “n”, entonces “n” es par, \( n=2k \).

Ahora, despejando 10A, tenemos

\( 2k-10A=a_{0}\Rightarrow2(k-5A)=a_{0} \).

Luego como \( (k-5A)=\dfrac{a_{0}}{2} \) es entero, porque lo son k y 5A, entonces 2 divide a \( a_{0} \).

Y el recíproco es igual, se despeja y se saca factor común.

Saludos.

Hola feriva, hice el reciproco:
tengo que \( a_0=2q \) luego \( n=10^ka_k+...+10a_1+a_0=10A+a_o=10A+2q=5*2A+a_o=2(5A+a_o)=n \) luego 2|n

Gracias a los dos

[Nub]

Tengo otro igual, aca es duda de notacion, es probar que \( 4|n \Longleftrightarrow{} 4|a_1a_0  \) la pregunta es que sera \( a_1a_0 \) creo que es el numero como tal no?, osea se escribiria en base 10 \( a_1*10+a_0 \)

El directo seria similar, pero no puedosacar factor comun
\( n=4q \), \( n=10A+10a_1+a_0 \), luego \( 4q=10A+10a_1+a_o \) despejando \( 4q-10A=10a_1+a_o \) y habria que sacar factor comun 4, si es lo que piden, capaz es un producto