[Nub]

Hola, tengo este ejercicio y la verdad que no me sale

1) El resto de la división de \( a\in{\mathbb{Z}} \) por 18 es 5, calcule el resto de la división de \( a^2 − 3a + 11 \) por 18.

Bueno, aplicando división entera tengo que \( a=18*q+5 \) y \( a^2 − 3a + 11=18*q'+r \)
Con esto, lo único que se me ocurre es colocar \( a \) en la otra ecuación, así

\( (18*q+5)^2-3(18*q+5)+11=18*q'+r \) y ahora no se que hacer desarrolle todo, y da como una ecuación de 3er grado, en fin no me sirve para nada, lo que se me ocurrió también fue factorizar y llegar algo como la "división entera" osea algo como \( d=D*q+r \) pero no pude

[Masacroso]

No da ninguna ecuación de tercer grado ya que sólo hay potencias de grado dos. Simplemente divide por \( 18 \) sabiendo que \( a=18b+5 \) para algún \( b\in \mathbb{Z} \). Tienes que

\( \displaystyle{
\frac{a^2-3a+11}{18}=\frac{(18b+5)^2-3(18b+5)+11}{18}=\frac{18^2b^2+10\cdot 18b+25-3\cdot 18b-15+11}{18}\\
=\frac{18\cdot (18b^2+10b-3b)+25-15+11}{18}=18b^2+7b+\frac{21}{18}=18b^2+7b+\frac{18+3}{18}\\
=18b^2+7b+1+\frac{3}{18}
} \)

Por tanto el resto es \( 3 \).

[Nub]

No da ninguna ecuación de tercer grado ya que sólo hay potencias de grado dos. Simplemente divide por \( 18 \) sabiendo que \( a=18b+5 \) para algún \( b\in \mathbb{Z} \). Tienes que

\( \displaystyle{
\frac{a^2-3a+11}{18}=\frac{(18b+5)^2-3(18b+5)+11}{18}=\frac{18^2b^2+10\cdot 18b+25-3\cdot 18b-15+11}{18}\\
=\frac{18\cdot (18b^2+10b-3b)+25-15+11}{18}=18b^2+7b+\frac{21}{18}=18b^2+7b+\frac{18+3}{18}\\
=18b^2+7b+1+\frac{3}{18}
} \)

Por tanto el resto es \( 3 \).

Creo que encontré una forma mejor tu me diras si hice cualquier cosa o no, pero justo estaba haciendo unos ejercicios y me tope con un problema que se me hizo comun, que el resto no cumpla la desigualdad, en especifico eran ejercicios de sistemas de numeracion donde el coeficiente me quedaba mas grande que la base entonces lo arreglaba aplicando division entera.
En fin, sin dividir entre 18 como tu hiciste, \( a^2-3a+11=(18b+5)^2-3(18b+5)+11=18(18b^2+7b)+21 \) luego llamo \( q'=(18b^2+7b) \)y te iba a decir \( 18*q'+21 \) es tiene la forma de la división entera y \( 21  \)seria el resto, pero no esta bien, luego hago division entera a 21, \( 21=18*1+3 \), queda \( 18*q'+(18*1+3) \) factor comun \( 18q'+3 \) y ahora si cumple la desigualdad

[Nub]

No da ninguna ecuación de tercer grado ya que sólo hay potencias de grado dos. Simplemente divide por \( 18 \) sabiendo que \( a=18b+5 \) para algún \( n\in \mathbb{Z} \). Tienes que

\( \displaystyle{
\frac{a^2-3a+11}{18}=\frac{(18b+5)^2-3(18b+5)+11}{18}=\frac{18^2b^2+10\cdot 18b+25-3\cdot 18b-15+11}{18}\\
=\frac{18\cdot (18b^2+10b-3b)+25-15+11}{18}=18b^2+7b+\frac{21}{18}=18b^2+7b+\frac{18+3}{18}\\
=18b^2+7b+1+\frac{3}{18}
} \)

Por tanto el resto es \( 3 \).

Creo que encontré una forma mejor tu me diras si hice cualquier cosa o no, pero justo estaba haciendo unos ejercicios y me tope con un problema que se me hizo comun, que el resto no cumpla la desigualdad, en especifico eran ejercicios de sistemas de numeracion donde el coeficiente me quedaba mas grande que la base entonces lo arreglaba aplicando division entera.
En fin, sin dividir entre 18 como tu hiciste, \( a^2-3a+11=(18b+5)^2-3(18b+5)+11=18(18b^2+7b)+21 \) luego llamo \( q'=(18b^2+7b) \)y te iba a decir \( 18*q'+21 \) es tiene la forma de la división entera y \( 21  \)seria el resto, pero no esta bien, luego hago division entera a 21, \( 21=18*1+3 \), queda \( 18*q'+(18*1+3) \) factor comun \( 18q'+3 \) y ahora si cumple la desigualdad

Saque factor comun mal, pero es lo mismo, basta con \( q''=(q´+1) \)

[Juan Pablo Sancho]

Tienes:
\( a = 18m +5  \) entonces:
\( a^2 = (18m)^2 + 10 \cdot 18m + 25 = 18 \cdot m' + 7 \)
\( -3a = -3 \cdot 18m - 15  \)
Luego el resto \( 7-15+11 = 3 \)

[feriva]

Hola, tengo este ejercicio y la verdad que no me sale

1) El resto de la división de \( a\in{\mathbb{Z}} \) por 18 es 5, calcule el resto de la división de \( a^2 − 3a + 11 \) por 18.

\( a^{2}=(18a+5)^{2}=18b+25 \)

*(esto es porque, en general, para cualquier potencia, al desarrollar por la distributiva o por el binomio de Newton vas a tener una suma de múltiplos de 18 más el producto del resto tantas veces como diga la potencia. Y, por otra parte, evidentemente, la suma de los múltiplos de 18 va a ser un múltiplo de 18; si lo miras un poco verás de inmediato lo que te digo).

Por otro lado tienes:

\( -3a=-3(18a+5)= \)

\( -18c-15 \)

Ahí hay otro múltiplo de 18 que sumado a lo de antes se agrega; va a ser resto cero y, entonces, nos quedamos con -15.

Así pues, tienes

\( 25-15+11=21=18+3 \).

y, por tanto, el resto es tres.

Eso es lo que ha hecho Juan Pablo.

Saludos.

[vicenteab]

Hola, tengo este ejercicio y la verdad que no me sale

1) El resto de la división de \( a\in{\mathbb{Z}} \) por 18 es 5, calcule el resto de la división de \( a^2 − 3a + 11 \) por 18.

Bueno, aplicando división entera tengo que \( a=18*q+5 \) y \( a^2 − 3a + 11=18*q'+r \)
Con esto, lo único que se me ocurre es colocar \( a \) en la otra ecuación, así

\( (18*q+5)^2-3(18*q+5)+11=18*q'+r \) y ahora no se que hacer desarrolle todo, y da como una ecuación de 3er grado, en fin no me sirve para nada, lo que se me ocurrió también fue factorizar y llegar algo como la "división entera" osea algo como \( d=D*q+r \) pero no pude

Si usamos congruencias, el ejercicio resulta del modo siguiente:
\( a\equiv5\ {mod 18}\longrightarrow{a^2\equiv7\ {mod 18}} \)
\( -3a\equiv3\ {mod 18} \)
\( 11\equiv11\ {mod 18} \)
Por tanto, \( a^2-3a+11\equiv\ (7+3+11){mod 18}\rightarrow{a^2-3a+11}\equiv\ 3\ {mod 18} \)
En definitiva, el resto de la expresión \( a^2-3a+11 \) por \( 18 \) es \( 3 \)
Saludos.

[Nub]

Gracias a todos, me quedo con lo que hizo Masacroso y el añadido que le di yo, me parece mas natural. En cuanto congurencias todavia no llegue, pero lo haré. Gracias a todos