[aizenht]

Hola buenas tardes, ¿me podrían ayudar a resolver estas dos series por favor?
\( f(t) = 3e^{4t}  \)        Serie de Fourier
\( f(t) = A \operatorname{sen} (\pi t) \)         Serie compleja de Fourier

Mensaje de la moderación: se ha corregido el \( \LaTeX \) y la ortografía.
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[Masacroso]

Buenas aizenht, bienvenido al foro. Las fórmulas matemáticas en el foro deben escribirse utilizando \( \LaTeX \), para ello tienes un cursillo en el siguiente enlace, aunque ya te he corregido el texto pero tenlo en cuenta para la próxima vez.

Tengo que comentarte otra cosa importante también (yo diría que casi más importante que lo anterior) y es que este foro no está pensado para resolverle los ejercicios a nadie sino más bien para ayudarles a que los resuelvan por sí mismos. Por eso, a la hora de hacer una consulta, intenta ser lo más específico posible sobre la duda que tienes, el paso concreto que no sabes calcular en vez de pedir que te resuelvan el ejercicio al completo.

En este caso estás preguntando por calcular la serie de Fourier de dos funciones, pero primero deberías saber un par de cosas:
1) Existe una única serie de Fourier (clásica), no una compleja y otra que no lo es, por eso aquí deberías especificar más a qué te refieres por "serie de Fourier compleja".
2) Las series de Fourier sólo son aplicables a funciones periódicas. Entiendo que en el caso de la función \( t\to A \operatorname{sen}(\pi t) \) el periodo a tener en cuenta es dos, pero no es claro qué hacer con la función \( t \mapsto 3e^{4t} \), ya que no es una función periódica. Así que, por favor, aclara estos dos puntos para poder ayudarte a resolver el ejercicio.

[electron]

Hola.

El cálculo es algo laborioso, pero puede hacerse con paciencia. Mira estas páginas:

https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier

https://es.symbolab.com/solver/fourier-series-calculator/serie%20de%20fourier%203e%5E%7B4t%7D%20?or=input



La función original no es periódica, pero los sumandos de la serie sí. La cosa es establecer el periodo que desees, por ejemplo \( T=2\pi \).

Para la "forma compleja", tengo entendido que es lo mismo pero expresando los senos/cosenos como exponenciales complejas. En el caso b) sí tenemos una función periódica de periodo \( T=2 \). En el enlace de Wikipedia puedes ver abajo la forma de calcular los coeficientes. El resultado es



y con todos los sumandos que quieras.

Saludos.

[Masacroso]

Para la "forma compleja", tengo entendido que es lo mismo pero expresando los senos/cosenos como exponenciales complejas. En el caso b) sí tenemos una función periódica de periodo \( T=2 \). En el enlace de Wikipedia puedes ver abajo la forma de calcular los coeficientes. El resultado es



y con todos los sumandos que quieras.

Saludos.

Si a lo que se refiere es a utilizar exponenciales en vez de funciones seno y coseno para expresar la serie de Fourier entonces en el caso de \( t\mapsto A \operatorname{sen}(\pi t) \), asumiendo el período dos (que no sé si será ése el que hay que considerar hasta que no lo aclare aizenht) entonces tenemos que

\( \displaystyle{
A \operatorname{sen}(\pi t)=A\frac{e^{i\pi t}-e^{i\pi t}}{2i}=\frac{A}{2i}e^{i\pi t}-\frac{A}{2i}e^{-i\pi t}
} \)

siendo el resultado a la derecha su serie de Fourier, ya que los coeficientes en este caso se definen por \( c_n:=\frac1{P}\int_{0}^{P}f(t)e^{-\frac{i2\pi nt}P}\,d t \) para un periodo \( P \) dado y \( n\in \mathbb{Z} \).