Muy buenas de nuevo.
Les traigo otra duda. Se trata de la demostración de la siguiente proposición:
"La distancia del baricentro a cada vértice es el doble de sus distancia al punto medio del lado opuesto."
En la demostración de esta proposición lo que no entiendo es el paso final. Les expongo aquí la demostración que tengo en mis apuntes y lo que no entiendo de ella. También les adjunto un archivo con el triángulo en el que está basada dicha demostración:
"1.- Comenzamos probando que si G es el punto de intersección de las medianas BN y CP ¡ entonces GB = 2GN y CG = 2PG. Para ello se utiliza una proposición que ya he demostrado y que no es objeto de esta duda, que dice que el segmento PN es paralelo a BC, de modo que los triángulos BGC y PGN (véase el archivo adjunto) tienen todos los lados paralelos dos a dos y, por tanto, sus ángulos iguales, con lo que dichos triángulos son semejantes. (Hasta aquí todo bien, sin ninguna duda al respecto)
2.- Por una proposición que ya he demostrado, sé que \( \displaystyle\frac{BC}{PN}=2 \), entonces: \( \displaystyle\frac{BG}{GN}=2 \) y \( \displaystyle\frac{CG}{GP}=2 \), entonces: BG = 2GN y CG = 2GP.
Ya he demostrado que la proposición se cumple en dos de las medianas, en la BN y en la CP.
3.- MI DUDA VIENE AQUÍ: (Esto es lo que pone en mis apuntes que no entiendo):
Solo falta probar que el punto G está en la mediana AM. Si G' es el punto de intersección de BN y AM, acabamos de comprobar que tanto G como G' dividen a BN en la misma razón 2, luego G=G'.
Esta última parte es la que no veo del todo clara. No sé si pueden darme otra visión u otra forma de terminar de demostrar el teorema.Muchas gracias de antemano. Un saludo.
