Miraba que dado un nº natural, \( n \), coprimo de \( p \), y aplicando el pequeño teorema de Fermat parece demostrarse que \( (n^p)^{p-1}-1 \) siempre parece dar un nº natural múltiplo, como mínimo, de \( p^2 \).
\( (n^p)^{p-1}-1=(n^{p-1})^p=[(n^{p-1})-1]·[(n^{p-1})^{p-1}+(n^{p-1})^{p-2}+(n^{p-1})^{p-3}+...+(n^{p-1})+1] \)
Arreglamos los exponentes del 2 carro:
\( (n^{p-1})^p=[(n^{p-1})-1]·[(n^{p-1})^{p-1}+(n^{p-2})^{p-1}+(n^{p-3})^{p-1}+...+(n^{p-1})+1] \)
Y finalmente hacemos lo siguiente:
\( (n^p)^{p-1}-1=[(n^{p-1})-1]·[[(n^{p-1})^{p-1}-1]+[(n^{p-2})^{p-1}-1]+[(n^{p-3})^{p-1}-1]+...+[(n^{p-1})-1]+1+[1+1+1+...+1]] \)
Aquí se observa que la cantidad de 1 a añadir siempre será \( p-1 \) de modo que al sumarlos todos ellos con el 1 ya previo que teníamos siempre nos quedará:
\( [(n^{p-1})-1]=[[(n^{p-1})^{p-1}-1]+[(n^{p-2})^{p-1}-1]+[(n^{p-1})^{p-1}-1]+...+[(n^{p-1}-1]+p] \)
Ahora, continuando en el segundo carro, sacamos \( [(n^{p-1})-1] \) como factor común de toda la retahíla de\( [(n^{p-k})^{p-1}-1] \) para obtener:
\( (n^p)^{p-1}-1=[(n^{p-1})-1]·[[(n^{p-1})-1][[(n^{p-2})^{p-1}-1]+[(n^{p-3})^{p-1}-1]+...+[(n^{p-1})-1]]+p] \)
Y dado que, por el pequeño teorema de Fermat, \( [(n^{p-1})-1] \) es siempre múltiplo de p, entonces se demuestra que:
\( (n^p)^{p-1}-1 \) siempre dará, como mínimo, un número múltiplo de \( p^2 \)
