[antena]

Hola. Me serviría entender por que, para demostrar la conjetura de Goldbach, es inválido el planteo siguiente.

\( 2n=p+q \)   (1)
\( p \rightarrow primo \)
\( q \rightarrow natural \)

Siempre hay un natural s que verifica lo siguiente.

\( s=pq \ \ \ \Rightarrow \ \ \ q= \dfrac{s}{p} \)   (2)

En (1) reemplazo q como indica (2) .

\( 2n=p+ \dfrac{s}{p} \)   

Multiplico ambos miembros por p .

\( 2np=p^2+s \)   

Igualo a cero

\( p^2-2np+s=0 \) 

Una de las soluciones de la cuadrática es el primo p propuesto inicialmente. La otra respeta las mismas condiciones, es decir cumple lo expresado en (2) . Deseo entender por qué una es prima y otra no puede serlo.

No necesitamos que la cuadrática corresponda a todos los pares de primos que sumados dan el par 2n . Bastaría que asegure la existrencia de un par de primos que sumados den 2n . Un par bastaría para demostrar la conjetura de Goldbach.

No dudo de la inutilidad del procedimiento mostrado cuando el objetivo es demostrar la conjetura, porque personas de mi confianza afirman que es inválido para ese fin. Solamente necesito entender cabalmente por qué.

Desde ya, muchas gracias.

[geómetracat]

Hola. Me serviría entender por que, para demostrar la conjetura de Goldbach, es iválido el planteo siguiente.

\( 2n=p+q \)   (1)
\( p \rightarrow primo \)
\( q \rightarrow natural \)

Siempre hay un natural s que verifica lo siguiente.

\( s=pq \ \ \ \Rightarrow \ \ \ q= \dfrac{s}{p} \)   (2)

En (1) reemplazo q como indica (2) .

\( 2n=p+ \dfrac{s}{p} \)   

Multiplico ambos miembros por p .

\( 2np=p^2+s \)   

Igualo a cero

\( p^2-2np+s=0 \) 

Una de las soluciones de la cuadrática es el primo p propuesto inicialmente. La otra respeta las mismas condiciones, es decir cumple lo expresado en (2) . Deseo entender por qué una es prima y otra no puede serlo.

Pues porque la ecuación que propones tiene exactamente como soluciones \( p \) y \( q \). Si empiezas con un \( q \) natural pero no primo, tendrás una solución prima y otra no prima.

No necesitamos que la cuadrática corresponda a todos los pares de primos que sumados dan el par p . Bastaría que asegure la existrencia de un par de primos que sumados den p . Un par bastaría para demostrar la conjetura de Goldbach. No dudo de la inutilidad del procedimiento mostrado cuando el objetivo es demostrar la conjetura, porque personas de mi confianza afirman que es inválido para ese fin. Solamente necesito entender cabalmente por qué.

Todo lo que dices es cierto (aunque supongo que cuando hablas del par \( p \) en realidad quieres decir el par \( 2n \)). Lo que sucede es que es una reformulación de la conjetura de Goldbach con la que no veo que ganes nada. Es decir, puedes decir que la conjetura de Goldbach es cierta si para cada par \( 2n \) existe una ecuación de segundo grado \( x^2-2nx+s=0 \) con soluciones primas y tales que suman \( 2n \). Pero, ¿te parece eso más fácil de probar que la conjetura original?
A mí me parece una reformulación mucho más complicada, porque igualmente tienes que demostrar que las soluciones suman \( 2n \) además de ser primas. Y por otro lado tampoco puedes calcular un candidato a \( s \) si no conoces ya un par \( p,q \) que suman \( 2n \) de entrada.

[antena]

Gracias geómetracat.

[antena]

Ampliaré un poco mi duda.

Escribo 2n=p+q sin predeterminar cuánto vale p ni cuánto vale q . Es decir no cuestiono valores. Cuestiono existencia. Dicho entrecasa, dejo ambas variables libres para que se acomoden solas. Definino a p como primo sin especificar valor.

Entonces pregunto. La existencia de una ecuación cuadrática soluble en p , ¿ implica que entre todos esos valores que se acomodan solos hay necesariamente un par de primos que sumados dan 2n ?

[Juan Pablo Sancho]

\( 14 = 7+7 = 11+3 \)

[feriva]

Hola. Me serviría entender por que, para demostrar la conjetura de Goldbach, es inválido el planteo siguiente.

\( 2n=p+q \)   (1)
\( p \rightarrow primo \)
\( q \rightarrow natural \)

Siempre hay un natural s que verifica lo siguiente.

\( s=pq \ \ \ \Rightarrow \ \ \ q= \dfrac{s}{p} \)   (2)

En (1) reemplazo q como indica (2) .

\( 2n=p+ \dfrac{s}{p} \)   

Multiplico ambos miembros por p .

\( 2np=p^2+s \)   

Igualo a cero

\( p^2-2np+s=0 \) 

Una de las soluciones de la cuadrática es el primo p propuesto inicialmente. La otra respeta las mismas condiciones, es decir cumple lo expresado en (2) . Deseo entender por qué una es prima y otra no puede serlo.

Mira

\( s=pq \)

\( p^{2}-2np+s=0 \).

Sustituyendo

\( p^{2}-2np+pq=0 \)

dividiendo por “p” a los dos lados

\( p-2n+q=0 \)

Despejando

\( p+q=2n \).

Es el enunciado de la conjetura de Goldbach enmascarado. Seguramente se cumple, pero existen los dos casos para casi todos los números pares conocidos (primo más primo; primo más no primo) y en el caso de los dos primos no lo sabemos aún, nadie lo ha demostrado.

Saludos.

[Pie]

Ampliaré un poco mi duda.

Escribo 2n=p+q sin predeterminar cuánto vale p ni cuánto vale q . Es decir no cuestiono valores. Cuestiono existencia. Dicho entrecasa, dejo ambas variables libres para que se acomoden solas. Definino a p como primo sin especificar valor.

Entonces pregunto. La existencia de una ecuación cuadrática soluble en p , ¿ implica que entre todos esos valores que se acomodan solos hay necesariamente un par de primos que sumados dan 2n ?

Pero no acabo de entender qué tiene que ver una cosa con la otra. Por qué crees que esa ecuación implica algo?

Si defines a \( p \) como primo y a \( q \) como cualquier natural que haga que la igualdad \( p + q = 2n \) sea cierta, entonces \( q \) puede ser tanto primo como compuesto. Por ejemplo si tomas \( p = 3 \) y vas igualando a los pares mayores a \[ 2 \] verás que \( q \) a veces es primo y a veces no: \[ 3 + 1 = 4 \] (no primo), \( 3 + 3 = 6 \) (primo), \( 3 + 5 = 8 \) (primo), \( 3 + 7 = 10 \) (primo), \( 3 + 9 = 12  \) (no primo)

Entonces esa ecuación que pones no garantiza nada, ni que \( q \) (fijado un primo y un número par) sea primo o compuesto, ni que tenga que haber una combinación de primos (sin especificar) para todo número par.

Otra cosa es que sí parece que la hay (de hecho, más de una para la mayoría de números pares, como el ejemplo que te puso Juan Pablo), pero eso no tiene nada que ver con la ecuación que pones ni nada por el estilo, sino más bien con que parece que hay suficientes primos como para que eso ocurra, al menos para números "pequeños" (en verdad se ha comprobado hasta números bastante grandes, pero eso no sirve como prueba ya que podría dejar de ocurrir para alguno mayor )..

Saludos.

[antena]

Gracias Feriva
Gracias Pie