Hola
¿Existen números racionales tales \( a \neq 2 , a \neq -1 \) que \( \frac{a^3-8}{a} = b^2 \)?
Tomando \( p=a/2 \) y \( q=b/2 \) la ecuación queda:
\( p^3-1=q^2p \)
Si tomas \( p=p_1/p_2 \) y \( q=q_1/q_2 \) con \( mcd(p_1,p_2)=mcd(q_1,q_2)=1 \) queda:
\( p_1^3-p_2^3=\dfrac{q_1^2}{q_2^2}p_1p_2^2 \)
Como \( mcd(p_1,p_2)=mcd(q_1,q_2)=1 \) necesariamente \( p_1p_2^2=\pm q_2^2 \) (en otro caso habría un factor primo \( p \) de \( p_1 \) ó \( p_2 \) que dividiría a dos de los tres término de la ecuación y por tanto a los tres, contradiciendo la coprimalidad indicada.
Se deduce que \( p_1 \) es un cuadrado perfecto salvo signo y tomando \( p_1=\pm x^2 \), \( p_2=y \), \( q_1=z \) queda:
\( \pm x^6-y^3=z^2 \)
con \( x,y,z \) enteros coprimos.
Esta ecuación se llama la ecuación de Fermat generalizada, caso Euclídeo (porque los exponentes cumplen \( 1/6+1/3+1/2=1 \)). Está demostrado que sus únicas soluciones (no nulas y coprimas) son:
\( (x,y,z)=(\pm 1,2,3) \) para \( x^6-y^3=z^2 \)
Puedes leer sobre esto aquí:
https://iminchen.org/wp-content/uploads/2021/02/BeChDaYa.pdfhttps://math.stackexchange.com/questions/3502645/no-positive-integer-solution-for-x2-y3-z6Saludos.
