Hola!
A ver si no estoy oxidado con esto. Si mal no recuerdo, lo que tenemos que hacer es tomar la energia potencial como cero cuando las cargas están "infinitamente" alejadas unas de las otras. Luego vamos armando la configuración, trayendolas cada una desde el infinito hasta cada posición en las que aparecen en la configuración. Luego, se calcula el trabajo que se hizo para traer cada carga a su posición.
Por ejemplo, traer la carga \( q_1 \) no cuesta trabajo, es decir, no habrá ninguna fuerza sobre ella, porque como las otras cargas están demasiado lejos, entonces, no están interactuando con ella.
Una vez que tenémos colocado \( q_1 \) traemos \( q_2 \). Como ya puede que sepas, la fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, su trabajo no depende del camino por el que vayamos de un punto a otro, si no que depende solamente de los puntos inicial y final. Entonces, para ahorrarnos cuentas lo que hacemos es traer \( q_2 \) desde el infinito por una trayectoria que coincide con la dirección de \( L_2 \), de este modo la fuerza y el desplazamiento quedan colineales:
\( \Delta U=-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{12}}\displaystyle\frac{1}{4\pi \epsilon _0}\displaystyle\frac{q_1 q_2}{r^2}dr=\displaystyle\frac{1}{4\pi \epsilon _0}\displaystyle\frac{q_1q_2}{L} \)
Ahora traemos \( q_3 \). Calcular el trabajo que se hace sobre ésta carga es calcular el trabajo que hacen las 2 cargas que ya están colocadas:
\( \Delta U=-W_{13}-W_{23} \)
Hacemos lo mismo. Para calcular el trabajo que le hace 1 nos acercamos por la dirección que nos favorezca, aquella en la que queden colineales el desplazamiento y la fuerza, y lo mismo para 3. De nuevo, esto se puede hacer porque no importa el trayecto por el cual se traiga la carga, el trabajo siempre es el mismo si las posiciones iniciales y finales son las mismas.
\( \Delta U=-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{13}}\displaystyle\frac{1}{4\pi \epsilon _0}\displaystyle\frac{q_1q_3}{r^2}dr-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{23}}\displaystyle\frac{1}{4\pi \epsilon _0}\displaystyle\frac{q_2q_3}{r^2}dr=\displaystyle\frac{1}{4\pi \epsilon _0}\left(\displaystyle\frac{q_1q_3}{L}+\displaystyle\frac{q_2q_3}{L}\right) \)
Bueno, análogamente hay que seguir haciendo lo mismo para las otras 2 cargas que faltan. Luego sumas todos los \( \Delta U \), y tenés la energia potencial de la configuración.
Espero no haber metido demasiado la pata.
Saludos.
