[Cari]

Dadas  \( A \) y \( B \) dos matrices cuadradas, no invertibles, sé que que tienes valores propios cero con multiplicidad \( n \) y \( 1 \) con multiplicidad \( 2 \),  bajo qué condiciones se verifica que \( A^3-B^3=0 \) implica \( A=B \).

Gracias.
Mensaje corregido desde la administración.

[Luis Fuentes]

Hola

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.[/b][/color][/size]

Dadas  \( A \) y \( B \) dos matrices cuadradas, no invertibles, sé que que tienes valores propios cero con multiplicidad \( n \) y \( 1 \) con multiplicidad \( 2 \),  bajo qué condiciones se verifica que \( A^3-B^3=0 \) implica \( A=B \).

Me parece muy impreciso el enunciado:

1) Se sabe algo del tamaño de las matrices.
2) Se entiende que las DOS tienen esos valores propios; o una tiene el autovalor cero y otra el autovalor \( 1 \).
3) ¿Son sus únicos autovalores?
4) ¿Multiplicidad algebraica o geométrica?.

Sin más aclaración no veo una forma clara de hacer la caracterización que pide.

Saludos.

[Cari]

Muchas gracias.

Tengo una matriz cuadrada $$C$$ que tiene polinomio característico $$x^n(x-1)^2$$, cuando encuentro su forma de Jordan me sale que el valor propio 1 tiene un bloque asociado  $$\begin{pmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{pmatrix}$$. Quiero obtener una raíz cúbica de $$C$$. Logro encontrar una  $$A$$ y ahora quiero probar es única. La matriz no es hermitiana por lo que de ahí no se aún si es única. Sé que otra posible matriz $$B$$ verificaría que $$B^3=A^3=C$$ y quiero probar que $$A=B$$ para tener la unicidad.

Sé que si $$v$$ es un autovector asociado al valor propio $$x$$ de $$B$$ entonces $$v$$ es un autovector asociado al valor propio $$x^3$$  de $$C$$, por eso tengo que los valores propios de $$A$$ Y $$B$$ son los mismos que $$C$$.

Lo que había intentado para ver que era única, era
1-Yo sé que $$B=P^{-1} J P$$ donde $$J$$ tiene puros ceros las primeras $$n$$ filas y en las últimas tiene el bloque antes mencionado.
2- Así $$C=B^3=P^{-1}  J^3 P$$ donde $$J^3=J+K$$ y $$K$$  tiene puros ceros las primeras $$n$$ filas y en la última, PERO  en la antepenúltima tiene un $$2$$ en la entrada $$n-1,n$$.

Así que $$C=B+P^{-1}  K P$$ por ende cualquier raíz cúbica $$B$$ de $$C$$ verifica que  $$C-P^{-1}  K P=B$$, donde para saber quien es $$P^{-1}  K P$$ sólo debo conocer las columna $$n-1$$ de $$P^{-1} $$ y la fila $$n$$ de $$P$$. Pero no he logrado saber nada de $$P$$.

Porque yo tengo una $$P$$ para $$C=B^3$$ pero no he podido garantizar que me funciona o tiene alguna relación con la de $$B$$.

Si tiene alguna sugerencia la agradezco

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que había intentado para ver que era única, era
1-Yo sé que $$B=P^{-1} J P$$ donde $$J$$ tiene puros ceros las primeras $$n$$ filas y en las últimas tiene el bloque antes mencionado.

Pero si tienes un bloque \( n\times n \) todo de ceros, entonces claramente la raíz cúbica no es única. Por ejemplo cualquier matriz de la forma:

\( M(a)=\begin{pmatrix}0 & 0 & \ldots &a \\ 0 &0 & \ldots & 0 \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\0&0 &\ldots & 0\end{pmatrix} \) con \( a\in \Bbb R \)

cumple \( M(a)^3=0 \) y por tanto ya sólo ese bloque tiene infinitas raíces cúbicas.

Saludos.

[Abdulai]

Por poner otro ejemplo:

La matriz    \( M(x)=\begin{pmatrix}0 & 0 & x & 0 & -x^2 \\ 0 & 1 & 0 & 0  & 0\\ 0 & 0 & 0  & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Tiene como polinomio característico  \( \lambda^3(\lambda-1)^2 \)   y resulta  \( M^n= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0  & 0\\ 0 & 0 & 0  & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)  para  \( n\ge 3 \)

[Cari]

Entiendo. Por ejemplo si mi matriz $$C$$ es \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{3L}&{1}&{L}&{0}\\{1}&{0}&{0}&{0}\\{L}&{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}. Puedo construir infinitas raices cúbicas tomando $$P^{-1}\begin{bmatrix}{0}&{A}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{1/3}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}P$$ donde $$P$$ es una de las asociadas a $$C$$. Podré garantizar que todas las raíces cúbicas tienen un 1 en la entrada $$1,1$$?

[Luis Fuentes]

Hola

Entiendo. Por ejemplo si mi matriz $$C$$ es \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{3L}&{1}&{L}&{0}\\{1}&{0}&{0}&{0}\\{L}&{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}. Puedo construir infinitas raices cúbicas tomando $$P^{-1}\begin{bmatrix}{0}&{A}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{1/3}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}P$$ donde $$P$$ es una de las asociadas a $$C$$. Podré garantizar que todas las raíces cúbicas tienen un 1 en la entrada $$1,1$$?

mmmm creo que si. La única raíz cúbica real de:

\( \begin{pmatrix}1 &0\\ a&1\\\end{pmatrix} \) con \( a\neq 0 \)

puede verse que es:

\( \begin{pmatrix}1 &0\\ a/3&1\\\end{pmatrix} \)

Y de ahí deducir lo que afirmas.

Saludos.

[Cari]

Otra duda, si la matriz es diagonal entiendo que una posible raiz es sacar la raiz de cada elemento de la diagonal y multiplicarlo por las correspondientes matrices $$P$$ y $$P^{-1}$$. Ahora si tengo la forma de jordan de la matriz siguiendo el razonamiento el convenio de raíz seria tomar la raiz de los bloques  si es que existen  de jordan y así formar la matriz?

[Luis Fuentes]

Hola

Otra duda, si la matriz es diagonal entiendo que una posible raíz es sacar la raíz de cada elemento de la diagonal y multiplicarlo por las correspondientes matrices $$P$$ y $$P^{-1}$$. Ahora si tengo la forma de Jordan de la matriz siguiendo el razonamiento el convenio de raíz seria tomar la raíz de los bloques  si es que existen  de Jordan y así formar la matriz?

Si.

Saludos.