[Chorite]

Hola! Tengo un conveniente con el siguiente ejercicio. Mi duda puntual es que en el enunciado me estan dando informacion que realmente no se como aplicar, y creo que se puede resolver cada uno de los items: \[  a,b,c,d \] sin necesidad de recurrir a ella. Dicha información corresponde a las formulas \[ a^1=1 \] y \[ a^n= a . a^\left\{{n-1}\right\} \] siendo ésta última válida cuando \[ n>1 \].

Les comparto el enunciado completo del ejercicio:

Si se define la potencia natural inductivamente en R: \[ a^1=1 \] y \[ a^n= a . a^\left\{{n-1}\right\} \] para \[ n>1 \], Probar:

a- \[ (a.b)^n=a^n.b^n \]

b- \[ a^n.a^m=a^\left\{{m+n}\right\} \]

c- \[ (\displaystyle\frac{a}{b})^n=\displaystyle\frac{a^n}{b^n} \]

d- \[ (a^m)^n=a^{m.n} \]

[Juan Pablo Sancho]

Si no pones que intentaste no sabremos donde está el error.
Te pongo el primero :
Para \(  n =1 \) tenemos \( (a \cdot b)^1 = a \cdot b = a^1 \cdot b^1  \).
Suponemos cierto que para \( n - 1\geq 1 \) se tiene \( (a \cdot b)^{n-1} = a^{n-1} \cdot b^{n-1} \) entonces para \( n \).
\( (a \cdot b)^n = (a \cdot b)^{n-1} \cdot (ab) = (a^{n-1} \cdot b^{n-1}) \cdot (ab) = a^n \cdot b^n  \).
Será:

Hola! Tengo un conveniente con el siguiente ejercicio. Mi duda puntual es que en el enunciado me estan dando informacion que realmente no se como aplicar, y creo que se puede resolver cada uno de los items: \[  a,b,c,d \] sin necesidad de recurrir a ella. Dicha información corresponde a las formulas \[ a^1=\color{red}a\color{black} \] y \[ a^n= a . a^\left\{{n-1}\right\} \] siendo ésta última válida cuando \[ n>1 \].

Les comparto el enunciado completo del ejercicio:

Si se define la potencia natural inductivamente en R: \[ a^1=\color{red}a\color{black} \] y \[ a^n= a . a^\left\{{n-1}\right\} \] para \[ n>1 \], Probar:

a- \[ (a.b)^n=a^n.b^n \]

b- \[ a^n.b^m=a^\left\{{m+n}\right\} \]

c- \[ (\displaystyle\frac{a}{b})^n=\displaystyle\frac{a^n}{b^n} \]

d- \[ (a^m)^n=a^{m.n} \]

[Chorite]

Si no pones que intentaste no sabremos donde está el error.
Te pongo el primero :
Para \(  n =1 \) tenemos \( (a \cdot b)^1 = a \cdot b = a^1 \cdot b^1  \).
Suponemos cierto que para \( n - 1\geq 1 \) se tiene \( (a \cdot b)^{n-1} = a^{n-1} \cdot b^{n-1} \) entonces para \( n \).
\( (a \cdot b)^n = (a \cdot b)^{n-1} \cdot (ab) = (a^{n-1} \cdot b^{n-1}) \cdot (ab) = a^n \cdot b^n  \).
Será:

Hola! Tengo un conveniente con el siguiente ejercicio. Mi duda puntual es que en el enunciado me estan dando informacion que realmente no se como aplicar, y creo que se puede resolver cada uno de los items: \[  a,b,c,d \] sin necesidad de recurrir a ella. Dicha información corresponde a las formulas \[ a^1=\color{red}a\color{black} \] y \[ a^n= a . a^\left\{{n-1}\right\} \] siendo ésta última válida cuando \[ n>1 \].

Les comparto el enunciado completo del ejercicio:

Si se define la potencia natural inductivamente en R: \[ a^1=\color{red}a\color{black} \] y \[ a^n= a . a^\left\{{n-1}\right\} \] para \[ n>1 \], Probar:

a- \[ (a.b)^n=a^n.b^n \]

b- \[ a^n.b^m=a^\left\{{m+n}\right\} \]

c- \[ (\displaystyle\frac{a}{b})^n=\displaystyle\frac{a^n}{b^n} \]

d- \[ (a^m)^n=a^{m.n} \]

Hola juan pablo, muchisimas gracias por la respuesta pero sigo con la misma duda: no entiendo por qué el ejercicio me aclara que "Si se define la potencia natural inductivamente en R: \[ a^1=\color{red}1\color{black} \] y \[ a^n= a . a^\left\{{n-1}\right\} \] para \[ n>1 \]", ni tampoco sé cómo aplicar esas dos formulas al problema. Quizás me estoy equivocando, pero me parece que en tu respuesta tampoco utilizaste esas definiciones.

Por cierto, no me equivoqué al tipear, el ejercicio textualmente dice que \[ a^1=1 \], de ahí que no logro comprender el enunciado.

[manooooh]

Hola

Hola juan pablo, muchisimas gracias por la respuesta pero sigo con la misma duda: no entiendo por qué el ejercicio me aclara que "Si se define la potencia natural inductivamente en R: \[ a^1=\color{red}1\color{black} \] y \[ a^n= a . a^\left\{{n-1}\right\} \] para \[ n>1 \]", ni tampoco sé cómo aplicar esas dos formulas al problema. Quizás me estoy equivocando, pero me parece que en tu respuesta tampoco utilizaste esas definiciones.

Por cierto, no me equivoqué al tipear, el ejercicio textualmente dice que \[ a^1=1 \], de ahí que no logro comprender el enunciado.

Ésto: \( a^n=aa^{n-1} \) es recursivo, ya que la función \( f(n)=a^n \) se referencia a ella misma en la definición de \( f(n)=f(1)f(n-1) \), por lo tanto es recursivo.

Otro ejemplo muy común es el factorial: Para calcular \( n! \), hay que conocer \( (n-1)! \), que a su vez éste necesita saber de \( (n-2)! \) etc.

Lo de \( a^1=1 \) no tiene sentido, debiera de ser \( a^1=a \).

Y Juan Pablo sí que utiliza esa definición en este paso:

\( \color{red}(a \cdot b)^n = (a \cdot b)^{n-1} \cdot (ab) \color{black}= \ldots \).

Saludos

[Chorite]

Hola

Hola juan pablo, muchisimas gracias por la respuesta pero sigo con la misma duda: no entiendo por qué el ejercicio me aclara que "Si se define la potencia natural inductivamente en R: \[ a^1=\color{red}1\color{black} \] y \[ a^n= a . a^\left\{{n-1}\right\} \] para \[ n>1 \]", ni tampoco sé cómo aplicar esas dos formulas al problema. Quizás me estoy equivocando, pero me parece que en tu respuesta tampoco utilizaste esas definiciones.

Por cierto, no me equivoqué al tipear, el ejercicio textualmente dice que \[ a^1=1 \], de ahí que no logro comprender el enunciado.

Ésto: \( a^n=aa^{n-1} \) es recursivo, ya que la función \( f(n)=a^n \) se referencia a ella misma en la definición de \( f(n)=f(1)f(n-1) \), por lo tanto es recursivo.

Otro ejemplo muy común es el factorial: Para calcular \( n! \), hay que conocer \( (n-1)! \), que a su vez éste necesita saber de \( (n-2)! \) etc.

Lo de \( a^1=1 \) no tiene sentido, debiera de ser \( a^1=a \).

Y Juan Pablo sí que utiliza esa definición en este paso:

\( \color{red}(a \cdot b)^n = (a \cdot b)^{n-1} \cdot (ab) \color{black}= \ldots \).

Saludos

De acuerdo Manooooh gracias por la aclaración. Pero entonces por lo que entiendo es un ejercicio normal de inducción matemática ¿verdad?, porque lo que me estaba complicando eran las formulas del inicio en el enunciado, pero si simplemente lo que me quieren decir es que \[ a^1=a \] cuando n=1 y que \[ a^n=a^n \] cuando n>1, realmente no cambia absolutamente nada a lo que ya venia haciendo con los anteriores ejercicios.  ¿es así?

[Luis Fuentes]

Hola

De acuerdo Manooooh gracias por la aclaración. Pero entonces por lo que entiendo es un ejercicio normal de inducción matemática ¿verdad?, porque lo que me estaba complicando eran las formulas del inicio en el enunciado, pero si simplemente lo que me quieren decir es que \[ a^1=a \] cuando n=1 y que \[ a^n=a^n \] cuando n>1, realmente no cambia absolutamente nada a lo que ya venia haciendo con los anteriores ejercicios.  ¿es así?

\( a^1=a \) de acuerdo.

Pero lo otro es \( a^n=a\cdot a^{n-1} \) (te están definiendo la potencia inductivamente).

Creo que el problema es que como tu ya sabes lo que es la potencia natural de un número y sus propiedades te cuesta abstraerte de eso.

Mi consejo es que lo pienses así (es equivalente). Definimos \( f:\Bbb R\times \Bbb N\to \Bbb R \) inductivamente como:

\( f(a,1)=a \)
\( f(a,n)=a\cdot f(a,n-1) \) para todo \( n\geq 2 \)

Entonces usando esa definición prueba que:

i) \( f(ab,n)=f(a,n)f(b,n) \)
ii) \( f(a,n)f(a,m)=f(a,n+m) \)
iii) \( f(a/b,n)=f(a,n)/f(b,n) \)
iv) \( f(f(a,n),m)=f(a,nm) \).

Saludos.

[Chorite]

Hola

De acuerdo Manooooh gracias por la aclaración. Pero entonces por lo que entiendo es un ejercicio normal de inducción matemática ¿verdad?, porque lo que me estaba complicando eran las formulas del inicio en el enunciado, pero si simplemente lo que me quieren decir es que \[ a^1=a \] cuando n=1 y que \[ a^n=a^n \] cuando n>1, realmente no cambia absolutamente nada a lo que ya venia haciendo con los anteriores ejercicios.  ¿es así?

\( a^1=a \) de acuerdo.

Pero lo otro es \( a^n=a\cdot a^{n-1} \) (te están definiendo la potencia inductivamente).

Creo que el problema es que como tu ya sabes lo que es la potencia natural de un número y sus propiedades te cuesta abstraerte de eso.

Mi consejo es que lo pienses así (es equivalente). Definimos \( f:\Bbb R\times \Bbb N\to \Bbb R \) inductivamente como:

\( f(a,1)=a \)
\( f(a,n)=a\cdot f(a,n-1) \) para todo \( n\geq 2 \)

Entonces usando esa definición prueba que:

i) \( f(ab,n)=f(a,n)f(b,n) \)
ii) \( f(a,n)f(a,m)=f(a,n+m) \)
iii) \( f(a/b,n)=f(a,n)/f(b,n) \)
iv) \( f(f(a,n),m)=f(a,nm) \).

Saludos.

Perfecto Luis, gracias por la aclaracion.