Hola
La probabilidad de estar en el grupo de tratamiento se puede interpretar como \( 15/30 \) y la probabilidad de estar en el grupo de control como \( 15/30 \). Entonces, tenemos que la probabilidad es \( 0.5 \) para pertenecer a ambos grupos; por lo que:
La probabilidad de que Sofía, Israel y Julian están en el grupo de tratamiento sería: \( 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125 \)
Eso sería si el hecho de que cada uno pertenezca al grupo de tratamiento fuese independiente de que pertenezcan los demás; esto sería si no hubiese límite de plazas en cada grupo. Pero no es así. Si Sofía ya ha sido elegida en el grupo de tratamiento; Israel tiene menos probabilidades, porque queda una plaza menos.
Como ejemplo exagerado si fuesen \( 16 \) amigos sería imposible que todos estuviesen en el grupo de tratamiento, porque sólo hay \( 15 \) plazas.
Si no voy mal, los casos favorables son todas las formas posibles de combinar \( 30-3=27 \) elementos tomados de \( 15-3=12 \) en \( 12 \). Es decir:
\[ C_{27,12} = \displaystyle\frac{27!}{12!(27-12)!}=17383860 \]
Y los casos posibles son:
\[ C_{30,15} =\displaystyle\frac{30!}{15!(30-15)!} =155117520 \]
Con lo que la probabilidad pedida es:
\( 17383860/155117520 = 13/116 \approx{} 11,2 \) %
Está bien. Ahí consideras como casos totales las formas de elegir \( 15 \) personas de entre las \( 30 \) y los favorables las formas de elegir los \( 12 \) que irán en el grupo de tratamiento además de los tres amigos.
También podría pensarse que ser reparten \( 30 \) tarjetas de manera aleatoria a las \( 30 \) personas diciendo en que grupo van (\( 15 \) de cada tipo).
Los casos favorables serían \( 15\cdot 14\cdot 13 \) y los totales \( [tex]30\cdot 29\cdot 28 \). El cociente:
\( \dfrac{ 15\cdot 14\cdot 13}{30\cdot 29\cdot 28}=\dfrac{13}{116} \)
Saludos.
