Buenas,
se me pide en primer lugar calcular la transformada de la función del ejercicio. Por lo que me suena que se hizo en clase, el truco para calcular $$ \hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-2\pi i x \xi}}{x+2i} dx $$ era considerar $$\int_{\gamma_n}f(z)dz=\int_{\gamma_n} \frac{e^{-2\pi i z \xi}}{z+2i} dz$$, siendo \( \gamma_n \) el camino formado por el intervalo \( [-n,n] \) y la semicircunferencia inferior de radio \( n \), y orientado en sentido contrario a las agujas del reloj. De este modo, la raíz \( -2\pi \) se queda dentro del camino y se aplica el teorema de los residuos. Luego queda ver que tomando el límite cuando \( n \to \infty \) la parte de la integral que corresponde a la semicircunferencia tiende a \( 0 \), lo cual damos por hecho ya que lo hemos visto en análisis complejo.
Aplicando residuos llego a que $$\int_{\gamma_n} \frac{e^{-2\pi i z \xi}}{z+2i} dz=2\pi i Res\left(\frac{e^{-2\pi i z \xi}}{z+2i} ,-2i\right)=2\pi i \lim_{z \to -2i}(z+2i)f(z)=2\pi i \lim_{z\to -2i}e^{-2\pi i z \xi}=e^{-4\pi \xi}$$. Sin embargo, he calculado la solución en una calculador de internet y no me da lo mismo. ¿Cómo se haría realmente la transformada?
Un saludo. Gracias de antemano.
