Hola
Hola alguien me puede explicar como puedo hacer esto:
Calcule:
Dos observaciones previas. El número de polinomios mónicos totales de grado \( n \) en \( \Bbb Z_p \) es \( p^{n} \), porque un tal polinomio mónico es de la forma:
\( x^n+a_{1}x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_n \) con \( a_i\in \Bbb Z_p \)
Todos los polinomios mónicos irreducibles de grado \( 1 \) son irreducibles y de grado \( 2 \) son irreducibles si y sólo si no tienen una raíz (sería un factor de grado 1).
Los polinomios mónicos irreducibles de grado \( 1,2 \) y \( 3 \) en $$\Bbb Z _2[ x]$$.
Los de grado \( 1 \) son todos irreduciles. \( x,x+1 \).
Los de grado \( 2 \) reducibles son los que se descomponen en producto de dos de grado \( 1 \):
\( x\cdot x=x^2 \)
\( x(x+1)=x^2+x \)
\( (x+1)^2=x^2+2x+1=x^2+1 \)
El irreducible es el único que queda \( x^2+x+1 \).
Los de grado \( 3 \) reducibles o bien son producto de uno de grado uno y otro de grado dos irreducible o bien producto de tres de grado uno:
\( x(x^2+x+1)=x^3+x^2+x \)
\( (x+1)(x^2+x+1)=x^3+1 \)
\( x^3 \)
\( x^2(x+1)=x^3+x^2 \)
\( x(x+1)^2=x^3+x \)
\( (x+1)^3=x^3+x^2+x+1 \)
Los irreducibles son los \( 2^3-6=2 \) restantes:
\( x^2+x^2+1 \)
\( x^2+x+1 \)
También directamente podríamos haber buscados lo irreducibles de grado \( 2,3 \) como aquellos que no tienen raíces. Para que \( 0 \) no sea raíz el término independiente tiene que ser \( 1 \). Para que \( 1 \) no sea raíz el número de coeficientes no nulos tiene que ser impar.
Los polinomios mónicos irreducibles de grado \( 1,2 \) en $$\Bbb Z _3[ x]$$.
Intenta seguir la misma idea...
Saludos.
