espero puedan explicarme por pasos.
Empieza imaginando la curva segmentada en trozos pequeños. En un cierto punto de la curva, sea \( (x_{i},y_{i}) \), la tangente viene por la razón entre unas pequeñas componentes perpendiculares situadas en el punto, tangente que podemos anotar así \( \dfrac{dy_{i}}{dx_{i}} \) (esas diferencias “d” son las mismas que tienes cuando explican el significado de la derivada, \( \dfrac{dy_{i}}{dx_{i}} \) es la derivada en el punto).
De ese modo, por Pitágoras, esa pequeña hipotenusa es \( \sqrt{(dx_{i})^{2}+(dy_{i})^{2}} \).
Al ser los valores muy pequeños, no podemos operar de forma directa con ellos, no los distinguimos de cero, pero sí podemos hallar la derivada en el punto; además, por otra parte, también es cierto que \( \dfrac{dy_{i}}{dx_{i}}dx_{i}=dy_{i} \), \( \dfrac{dx_{i}}{dx_{i}}dx_{i}=dx_{i} \), porque los “dx” iguales se cancelan por división (estamos en un punto, todavía no es la integral, tienen solamente un valor en este caso concreto y, por tanto, el valor de su razón es 1 al ser iguales; y, lógicamente, también la de sus cuadrados).
En la integral se trata de sumar todos esos pequeños segmentos para hallar lo longitud, que son distintos; igual que ocurre con las componentes en cada punto, son distintas en general debido a que la curva tiene en cada sitio diferente curvatura (valga la redundancia) es más abierta o más cerrada.
Ahora, en el problema te dan los puntos de la función (x,y) así: \( x =3 sen(3t) \), \( y =3 cos(3t) \).
Entonces, por lo anterior, cada trocito de curva, cada pequeña hipotenusa, es de esta forma:
un cierto trocito en un punto \( (x_{i},y_{i}) \) será
\( \sqrt{(d[3sen(3t_{i})])^{2}+(d[3cos(3t_{i})])^{2}}= \)
\( \sqrt{(\dfrac{d[3sen(3t_{i})]}{dt_{i}})^{2}\cdot(dt_{i})^{2}+(\dfrac{d[3cos(3t_{i})]}{dt_{i}})^{2}\cdot(dt_{i})^{2}} \)
donde \( (dt_{i})^{2} \) es factor común y puede salir de la raíz sin cuadrado
\( \sqrt{(\dfrac{d[3sen(3t_{i})]}{dt_{i}})^{2}+(\dfrac{d[3cos(3t_{i})}{dt_{i}})^{2}}\cdot dt_{i} \)
Dentro de la raíz tienes dos derivadas que dado un cierto valor para \( t_i \) las puedes operar normalmente; pero, después, eso está multiplicado fuera de la raíz por un valor que tiende a cero. Es decir, aisladamente, para un cierto punto, no sirve para nada, sólo se sabe que es un segmento muy pequeño e indistinguible de cero.
Sin embargo, en la integral lo que hay es la suma de todos los distintos \( dt \), que actúan junto con la función dada en todos los puntos desde t=0 a t=2. Y, ahí sí, resolviendo la integral se halla la longitud del trozo de curva, del arco. Y el resto, cómo se opera, ya lo ha puesto Pie.
Saludos.
