[marek]

Calcular la suma de las areas de los cuadrados

[Luis Fuentes]

Hola



 Si llamas \( x,y \) respectivamente a los lados de ambos cuadrados tienes que:

\(  BE=\sqrt{9-x^2} \)
\(  BF=x-BE=x-\sqrt{9-x^2} \)

 Los triángulos \( ABE \) y \( BFL \) son semejantes de donde:

\(  \dfrac{x}{FL}=\dfrac{3}{BF}=\dfrac{BE}{BL} \)

 y así:

\(  BL=\dfrac{BE\cdot BF}{3}=\dfrac{x\sqrt{9-x^2}-9+x^2}{3} \)
\(  FL=\dfrac{x\cdot BF}{3}=\dfrac{x^2-x\sqrt{9-x^2}}{3} \)

 Análogamente razonando con el otro cuadrado:

\( CL=\dfrac{y\sqrt{25-y^2}-25+y^2}{5} \)
\( FL=\dfrac{y^2-\color{red}y\sqrt{25-y^2}\color{black}}{5} \)

 Combinando ambas cosas y teniendo en cuenta que \( BL+CL=1 \) se llega a un sistema de ecuaciones:

\( \dfrac{x\sqrt{9-x^2}-9+x^2}{3}+\dfrac{y\sqrt{25-y^2}-25+y^2}{5}=1 \)
\( \dfrac{x^2-x\sqrt{9-x^2}}{3}=\dfrac{y^2-\color{red}y\sqrt{25-y^2}\color{black}}{5} \)

 El problema es como resolver ese sistema que es un tanto feo; con ayuda del ordenador he obtenido las soluciones:

\(  x=\dfrac{9}{\sqrt{13}},\quad x=\pm 3 \)

 De las cuales sólo se adapta al dibujo la primera:

\(  x=\dfrac{9}{\sqrt{13}},\quad y=9\sqrt{\dfrac{5}{26}} \)

 La cosa sería como llegar a un sistema más amable.

Saludos.

CORREGIDO

[electron]

Hola.

Yo he seguido otro camino algo más analítico, pero igualmente con un sistema gordote.

Aprovechando el dibujo de Luis, he llamado:

\( x=AE \), \( u=EB \), \( y=DI \), \( v=IL \)
ángulo \( \alpha \) (agudo, en B)
ángulo \( \beta \) (agudo, en C)

y he planteado el siguiente sistema:

\( 9=x^2+u^2 \)
\( x=3sen\alpha \)
\( 25=y^2+v^2 \)
\( y=5sen\beta \)
\( \displaystyle\frac{x-u}{sen\beta}=\displaystyle\frac{y-v}{sen\alpha}=\displaystyle\frac{1}{sen(\alpha+\beta)} \)

También con ayuda del ordenador obtengo

\( x=3,y=3\sqrt[ ]{5/2} \)
\( x=\displaystyle\frac{9}{\sqrt[ ]{13}},y=9\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{5}{26}} \)

Lógicamente la solución válida es la segunda, de modo que la solución para el área de los 2 cuadrados es \( x^2+y^2=\displaystyle\frac{567}{26} \).

Imagino que habrá alguna otra forma más sencilla de calcularlo.

Un saludo.

[marek]

\( \dfrac{x\sqrt{9-x^2}-9+x^2}{3}+\dfrac{y\sqrt{25-y^2}-25+y^2}{5}=1 \)
\( \dfrac{x^2-x\sqrt{9-x^2}}{3}=\dfrac{y^2-x\sqrt{25-x^2}}{5} \)

o

\( \dfrac{x\sqrt{9-x^2}-9+x^2}{3}+\dfrac{y\sqrt{25-y^2}-25+y^2}{5}=1 \)
\( \dfrac{x^2-x\sqrt{9-x^2}}{3}=\dfrac{y^2-y\sqrt{25-y^2}}{5} \)

??

[Luis Fuentes]

Hola

\( \dfrac{x\sqrt{9-x^2}-9+x^2}{3}+\dfrac{y\sqrt{25-y^2}-25+y^2}{5}=1 \)
\( \dfrac{x^2-x\sqrt{9-x^2}}{3}=\dfrac{y^2 \color{red}-x\sqrt{25-x^2}\color{black}}{5} \)

o

\( \dfrac{x\sqrt{9-x^2}-9+x^2}{3}+\dfrac{y\sqrt{25-y^2}-25+y^2}{5}=1 \)
\( \dfrac{x^2-x\sqrt{9-x^2}}{3}=\dfrac{y^2\color{blue}-y\sqrt{25-y^2}\color{black}}{5} \)

Si, la segunda. Ya he corregido la errata. Gracias.

[ancape]

Calcular la suma de las areas de los cuadrados

Hola

Creo que al problema le faltan datos pues en los dibujos que adjunto puede verse que obtengo dos soluciones, una muy parecida a la que obtuvo Luis y la otra completamente diferente que tiene en cuenta que el punto F puede estar en la vertical de B. En todo caso, la solución que habéis obtenido analíticamente es sólo aproximada y podría obtenerse geométricamente con el lugar que recorre la altura DD' cuando P se mueve en la circunferencia k.( Ver hoja de Geogebra)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que al problema le faltan datos pues en los dibujos que adjunto puede verse que obtengo dos soluciones, una muy parecida a la que obtuvo Luis y la otra completamente diferente que tiene en cuenta que el punto F puede estar en la vertical de B.

La solución en la que el punto \( F \) está en la vertical de \( B \) se descarta por el propio dibujo, donde NO es así. No están el uno en la vertical del otro.

Esa posibilidad salía en mi solución analítica, \( x=3 \). Pero como dije la descarté por el dibujo del enunciado.

En todo caso, la solución que habéis obtenido analíticamente es sólo aproximada y podría obtenerse geométricamente con el lugar que recorre la altura DD' cuando P se mueve en la circunferencia k.( Ver hoja de Geogebra)

NO. La solución que he obtenido es EXACTA. Puedes ver que los valores de \( x,y \) dados cumplen EXACTAMENTE las ecuaciones de las cuales se deducían. Es decir el sistema de ecuaciones dado puede resolverse explícitamente; otra cosa es que sea un infierno hacerlo a mano.

Tienes cierta costumbre de proponer soluciones geométricas a través del Geogebra, lo cuál está muy bien; pero es absurdo que las presentes como "exactas". El Geogebra geométricamente, en el dibujo, es capaz de intersecar cualquier par de curvas. Pero lo hace resolviendo las ecuaciones que las representan por MÉTODOS
 NUMÉRICOS APROXIMADOS. Nada que ver con una solución exacta.

En este caso es especialmente extraño que pretendas defender que la solución obtenida analíticamente es menos exacta que la obtenida gráficamente. No tiene sentido.

Saludos.

[electron]

la solución que habéis obtenido analíticamente es sólo aproximada y podría obtenerse geométricamente con el lugar que recorre la altura DD' cuando P se mueve en la circunferencia k.( Ver hoja de Geogebra)

Las soluciones que hemos encontrado Luis y yo son analíticas y exactas, sin aproximaciones. No tienes más que revisar la argumentación y la resolución.

En realidad es al revés de como dices: los resultados geométricos (con Geogebra) son siempre aproximados porque trabaja con números hasta un cierto margen de error. Es muy útil para comprobar soluciones, pero desde luego el valor exacto que te hemos dado es exactamente el que es.

PD: Me parece que difícilmente se podría comprobar la solución con Geogebra en este caso, ya que para dibujar los cuadrados hay que darles un tamaño, y este tamaño es indeterminado a priori. Por eso obtienes resultados dispares, ya que depende del tamaño que les das y la orientación relativa entre ambos.

Saludos.

[ancape]

La solución en la que el punto \( F \) está en la vertical de \( B \) se descarta por el propio dibujo, donde NO es así. No están el uno en la vertical del otro.

Hola Luis
No sabía que parece que han cambiado las reglas en matemáticas. Antes, sólo se consideraba el enunciado de un problema y la figura que lo acompañaba no decía absolutamente nada salvo que el enunciado escrito lo aclarase explícitamente. Ahora parece que se puede interpretar lo evidente en una figura. La dificultad es averiguar que es evidente. Por ejemplo, en el problema de los cuadrados era evidente que L era el punto medio del segmento BC. ¡¡ Qué lástima ¡! No lo tuve en cuenta. Tomo nota para futuros problemas.

NO. La solución que he obtenido es EXACTA. Puedes ver que los valores de \( x,y \) dados cumplen EXACTAMENTE las ecuaciones de las cuales se deducían. Es decir el sistema de ecuaciones dado puede resolverse explícitamente; otra cosa es que sea un infierno hacerlo a mano.

Tienes cierta costumbre de proponer soluciones geométricas a través del Geogebra, lo cuál está muy bien; pero es absurdo que las presentes como "exactas". El Geogebra geométricamente, en el dibujo, es capaz de intersecar cualquier par de curvas. Pero lo hace resolviendo las ecuaciones que las representan por MÉTODOS
 NUMÉRICOS APROXIMADOS. Nada que ver con una solución exacta.

Las soluciones EXACTAS sólo existen en el pensamiento, cuando presentamos un número en la realidad, deja de ser lo que habíamos pensado de él.
Las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un punto, pero en el momento que intentemos representarlo, el resultado no es tal punto.

El programa Geogebra es capaz de representar la intersección de un par de curvas, pero NUNCA lo hará exactamente.
En la solución que presento al problema de trazar un círculo que sea tangente a una semicircunferencia y su diámetro, obtengo los puntos EXACTOS como intersección de una elipse y una hipérbola. En el momento que le pido a Geogebra que me dibuje tales puntos, pierdo la exactitud.

En este caso es especialmente extraño que pretendas defender que la solución obtenida analíticamente es menos exacta que la obtenida gráficamente. No tiene sentido.

Te agradecería me digas dónde defiendo que las soluciones analíticas son menos exactas que las que se obtienen gráficamente.

Saludos.

[ancape]

PD: Me parece que difícilmente se podría comprobar la solución con Geogebra en este caso, ya que para dibujar los cuadrados hay que darles un tamaño, y este tamaño es indeterminado a priori. Por eso obtienes resultados dispares, ya que depende del tamaño que les das y la orientación relativa entre ambos.

¿?
Saludos