Hola a todos, ¿podrían ayudarme con este ejercicio?
a) Sean $$ a, b \in{\mathbb{Z}}$$ tal que $$(2a^2 + 10b: 5a) = 25 $$
Hallar posibles (a:b) y para cada uno, mostrar a y b que cumplan lo pedido.
$$(2a^2 + 10b: 5a) = 25 $$ es decir, 25 es máximo común divisor.
Si saco factor común, me queda que $$ 2a^2 + 10b = 2 (a^2+ 5b)$$, luego $$(a^2+ 5b)=5^{\alpha_2} .p^{\alpha_3}...$$ con $${\alpha_2}\geq{2}$$, p un primo de la factorización en primos, podría haber más, cada uno con su respectiva potencia.
Entonces $$2a^2 + 10b =2^{\alpha_1}. 5^{\alpha_2} .p^{\alpha_3}... $$ con $${\alpha_1}\geq{1}$$, $${\alpha_2}\geq{2}$$
Por otra parte, $$5a = 5^{\beta_1}.p^{\beta_2}.. $$ con $${\beta_1} \geq{2}$$.
A su vez, esto significa que $$a = 5^{\gamma} .p^{\beta_2}...$$ con $${\gamma}\geq{1} $$, p primo de la factorización, podría haber más primos.
Observemos que $$ {\alpha_2} $$ y $${\beta_1}$$ no pueden ser $$>2$$ simultáneamente. Alguno de los 2 tendrá que ser igual a 2.
O bien sería $$ {\alpha_2}=2 $$ y $${\beta_1}\geq{2}$$ o bien $${\alpha_2}\geq{2} $$ y $${\beta_1}=2$$
Pero creo que no es por este camino, no se si conviene utilizar la factorización en primos o quizás se me está pasando por alto alguna propiedad de mcd o coprimización.
Gracias por leer
