Hola
Hola, ¿podríais ayudarme con este ejercicio?, muchas gracias:
En el espacio afín real tridimensional se consideran tres rectas que se cruzan dos
a dos y son paralelas a un plano. Demuestra que toda recta que corte a las tres es
paralela a un plano fijo y determina ese plano.
Supón que las rectas pasan respectivamente por los puntos \( A,B,C \) y tienen como vectores directores \( u,v,w \).
Dado que son paralelas a un plano sus vectores directores son dependientes y dado que se cruzan cualquiera de ellos es combinación lineal de los otros dos (en otro caso dos rectas serían paralelas entre si). Entonces pueden escogerse los vectores directores de manera que \( w=u+v \).
Fijado un punto \( P=C+kw \) en la tercera recta, la recta que une \( P \) con las otras dos se obtiene intersecando los planos que contienen a \( P \) y a cada uno de las otras dos rectas.
Esos planos están generados respectivamente por los vectores \( P-A,u \) y \( P-B,v \). Y sus vector normales son:
\( (P-A)\times u=(C-A+kw)\times u=(C-A+k(u+v))\times u=(C-A)\times u+k(v\times u) \)
\( (P-B)\times v=(C-B+kw)\times v=(C-B+k(u+v))\times v=(C-B)\times v+k(u\times v) \)
Entonces la recta intersección es perpendicular a cualquier combinación lineal de ambos. En particular a su suma, que es (nota que \( k(v\times u)=-k(v\times u) \):
\( (C-A)\times u+(C-B)\times v \)
que es entonces el vector normal de un plano paralelo a TODAS las rectas que intersecan a las tres dadas.
Saludos.
