[Eren]

He estado buscando diferentes demostraciones de la simplicidad del grupo alternado \( A_n \) para \( n \geq 5 \), y me he encontrado con una que emplea el postulado de Bertrand  (para todo entero \( m > 1 \), existe un primo \( p \) tal que \( m < p < 2m \)).

La demostración se apoya en los dos lemas siguientes:

Lema. Sea \( H \) un subgrupo normal minimal no trivial de un grupo finito \( G \). Entonces \( H \) es un producto directo

    \[ H \cong U_1\times \cdots \times U_k, \]

donde los \( U_i \) son grupos simples normales en \( H \) isomorfos entre sí.

Lema. Para todo \( n\geq 5 \), \( A_n \) es el único subgrupo normal propio no trivial de \( S_n \).

Estos dos lemas implican que, para \( n \geq 5 \), \( A_n \) es un producto directo

    \[ U_1 \times \cdots \times U_k, \]

donde cada factor es isomorfo a un grupo simple \( U \), luego debe ser \( |A_n| = n! / 2 = |U|^k \). Y aquí es donde la demostración aplica el postulado de Bertrand para concluir que debe ser \( k = 1 \), pero no logro entender cómo se llega a esa conclusión. ¿Alguno de ustedes podría ayudarme con los detalles de esa deducción?

[Carlos Ivorra]

Toma \( r = E[n/2] \) (la parte entera). Como \( n\geq 5 \), tienes que \( r>2 \). Por el postulado de Bertrand, existe un primo \( 2< r <p<2r\leq n \). Entonces \( p\mid n! = 2|U|^k \), luego \( p\mid |U| \), luego \( p^k\mid n! \).

Vamos a ver que \( p^2\nmid n! \), y así tendrá que ser \( k=1 \).

En caso contrario, \( p\mid n! / p \), luego \( p \) divide a un número \( p< m\leq n \), luego \( 2p\leq m\leq n \), luego \( p\leq n/2 \), luego \( p\leq E[n/2] = r \), contradicción.

[Eren]

¡Vaya, no parece una conclusión tan inmediata! Estoy seguro de que no habría sido capaz de proporcionar los detalles por mi cuenta.

¡Muchas gracias!

Entonces, ¿es cierto en general que, si \( n \geq 5 \), \( n!/2 \) no es nunca la potencia de un numero entero, salvo el caso con exponente \( 1 \)?

[Carlos Ivorra]

¡Vaya, no parece una conclusión tan inmediata! Es casi seguro que no habría sido capaz de proporcionar los detalles por mi cuenta.

No sé si habrá un argumento más sencillo.

Entonces, ¿es cierto en general que, si \( n \geq 5 \), \( n!/2 \) no es nunca la potencia de un numero entero, salvo el caso con exponente \( 1 \)?

Eso es precisamente lo que acabamos de ver.

[Eren]

Entonces, ¿es cierto en general que, si \( n \geq 5 \), \( n!/2 \) no es nunca la potencia de un numero entero, salvo el caso con exponente \( 1 \)?

Eso es precisamente lo que acabamos de ver.

¡Gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

¡Vaya, no parece una conclusión tan inmediata! Estoy seguro de que no habría sido capaz de proporcionar los detalles por mi cuenta.

De todas formas, más allá de los detalles la idea es sencilla y natural. Para ver que \( n! \) no es un cuadrado de un entero, basta ver que \( n!=n(n-1)(n-2)\ldots 1 \) tiene un número primo \( p \) entre los \( n/2 \) números más grandes del producto que define el factorial, de forma que eso garantiza que sólo puede aparecer una vez en toda la factorización.

El Postulado de Bertrand garantiza la existencia de ese primo y lo demás es comprobar que la idea funciona.

Saludos.

[Eren]

De todas formas, más allá de los detalles la idea es sencilla y natural. Para ver que \( n! \) no es un cuadrado de un entero, basta ver que \( n!=n(n-1)(n-2)\ldots 1 \) tiene un número primo \( p \) entre los \( n/2 \) números más grandes del producto que define el factorial, de forma que eso garantiza que sólo puede aparecer una vez en toda la factorización.

El Postulado de Bertrand garantiza la existencia de ese primo y lo demás es comprobar que la idea funciona.

Saludos.

¡Cierto! Ahora lo veo más claro. ¡Gracias!