[chavsolute]

En el libro Álgebra de Carlos Ivorra se menciona una variante del axioma de infinitud: "Existe un conjunto \( X \) con una aplicación \( S : X \to X \) inyectiva y no suprayectiva". Si definimos dicha aplicación como \( S = \{x \in  X \times X |\textsf{ existe un }n \in X \textsf{ tal que }x = (n, \color{red}S\color{black}(n))\} \) se puede probar que es inyectiva y no suprayectiva mediante los axiomas de Peano, donde \( X \) es el conjunto de los números naturales. Posteriormente, se define el conjunto N como la gran intersección de todos los subconjuntos inductivos de \( X \) y se prueba además, que N es inductiva. En base a esto, se construye la restricción \( S|_N : N\to N \). Ahora, mi pregunta es ¿Por qué se define \( S|_N : N\to N \) en lugar de \( S|_N : N\to X \)?, Se supone que solo se debe cambiar el dominio pero también esta cambiando el 2do conjunto de la aplicación.
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[Carlos Ivorra]

En el libro Álgebra de Carlos Ivorra se menciona una variante del axioma de infinitud: "Existe un conjunto X con una aplicación S : X → X inyectiva y no suprayectiva".

En efecto, entiendo que estás en la sección 1.4.

Si definimos dicha aplicación como S = {x ∈ X × X | existe un n ∈ X tal que x = (n, S(n))} se puede probar que es inyectiva y no suprayectiva mediante los axiomas de peano, donde X es el conjunto de los números naturales.

Esto no lo entiendo. Si tomas como axioma esta definición no tienes que definir \( S \) de ninguna forma, sino que estás postulando que existe dicha aplicación. No puedes definirla de ninguna forma, porque no puedes demostrar que exista una aplicación así sin el axioma de infinitud. Otra cosa es que tomes otra versión del axioma de infinitud, construyas a partir de ella los números naturales y definas la aplicación sucesor, que es inyectiva y no suprayectiva. Supongo que lo que te he marcado en rojo es una errata, pero, aun con esa corrección, la igualdad que has escrito sólo expresa que las aplicaciones son conjuntos de pares ordenados, pero eso —aunque con la corrección es cierto— nunca te serviría como definición de nada, porque es circular, tienes la \( S \) en los dos miembros.

Posteriormente, se define el conjunto N como la gran intersección de todos los subconjuntos inductivos de X y se prueba además, que N es inductiva. En base a esto, se construye la restricción S|N : N → N. Ahora, mi pregunta es ¿Por qué se define S|N : N → N en lugar de S|N : N → X?, Se supone que solo se debe cambiar el dominio pero también esta cambiando el 2do conjunto de la aplicación.

Sí, en principio al restringir \( S: X\longrightarrow X \) obtienes una aplicación \( S|:N: N\longrightarrow X \), pero si \( n\in N \), entonces, por definición de \( N \), tienes que \( n \) está en todos los conjuntos inductivos, luego, por definición de conjunto inductivo, \( S(n) \) también está en todos los conjuntos inductivos, luego \( S(n)\in N \), luego podemos afirmar que \( S|_N: N\longrightarrow N \).

[chavsolute]

Sí, en principio al restringir \( S: X\longrightarrow X \) obtienes una aplicación \( S|:N: N\longrightarrow X \), pero si \( n\in N \), entonces, por definición de \( N \), tienes que \( n \) está en todos los conjuntos inductivos, luego, por definición de conjunto inductivo, \( S(n) \) también está en todos los conjuntos inductivos, luego \( S(n)\in N \), luego podemos afirmar que \( S|_N: N\longrightarrow N \).

¿Cuando dice "por definición" se refiere a que N es el menor conjunto inductivo o a que N es la gran intersección de todos los subconjuntos inductivos de X?.
Por otro lado, como llego de "\( n\in N \) entonces \( S(n)\in N \)" a "\( S|_N: N\longrightarrow N \)", es decir, entiendo que si mi dominio es N entonces mi rango es N. Pero el segundo conjunto de la aplicación no tiene por que ser necesariamente el rango, podría ser un conjunto "Y" cualquiera, e incluso podría ser que N sea subconjunto de Y.

[Carlos Ivorra]

¿Cuando dice "por definición" se refiere a que N es el menor conjunto inductivo o a que N es la gran intersección de todos los subconjuntos inductivos de X?.

Es equivalente, pero, por concretar, toma la segunda opción. Tenemos que \( S: X\longrightarrow X \), luego \( S|_N: N\longrightarrow X \) ¿Hasta ahí estás de acuerdo?

Ahora tomamos un \( n\in N \), luego, por definición de \( N \), sabemos que \( n \) está en todos los subconjuntos inductivos de \( X \). Sea \( A \) un subconjunto inductivo de \( X \), entonces \( n\in A \), pero por definición de conjunto inductivo \( S(n)\in A \), luego hemos probado que \( S(n) \) está en todos los suconjuntos inductivos de \( X \), luego, por definición de \( N \) hemos probado que \( S(n)\in N \), y eso significa que \( S|_N: N\longrightarrow N \). ¿Ves algo mal en este argumento?

Por otro lado, como llego de "\( n\in N \) entonces \( S(n)\in N \)" a "\( S|_N: N\longrightarrow N \)",

Porque "\( S|_N: N\longrightarrow N \)" significa precisamente eso, que si tomas \( n\in N \), entonces su imagen por \( S \) está en \( N \). ¿Qué entiendes tú que significa "\( S|_N: N\longrightarrow N \)"?

es decir, entiendo que si mi dominio es N entonces mi rango es N.

Si por "rango" entiendes el conjunto de las imágenes, eso no es cierto, el rango es \( N\setminus\{0\} \), pero eso no importa ahora. Sólo estamos diciendo que las imágenes de elementos de \( N \) están en \( N \).

Pero el segundo conjunto de la aplicación no tiene por que ser necesariamente el rango, podría ser un conjunto "Y" cualquiera, e incluso podría ser que N sea subconjunto de Y.

Con esto no sé lo que quieres decir. Tienes que \( S|_N:N\longrightarrow X \) y hemos visto que las imágenes por \( S \) de los elementos de \( N \) no son elementos de \( X \) cualesquiera, sino que están concretamente en \( N \), y por eso podemos afirmar que \( S|_N:N\longrightarrow N \). No entiendo en qué consiste tu objeción.

[chavsolute]

Con esto no sé lo que quieres decir. Tienes que \( S|_N:N\longrightarrow X \) y hemos visto que las imágenes por \( S \) de los elementos de \( N \) no son elementos de \( X \) cualesquiera, sino que están concretamente en \( N \), y por eso podemos afirmar que \( S|_N:N\longrightarrow N \). No entiendo en qué consiste tu objeción.

Ya entiendo, por la definición de función, en "\( S|_N:N\longrightarrow X \)" se cumple que para cada \( n\in N \) existe un único \( S(n)\in X \) tal que \( (n,S(n))\in S|_N \), pero como sabemos que \( S(n)\in N \) entonces obtenemos \( S|_N:N\longrightarrow N \). ¿Eso es lo que quiere decir?

[Carlos Ivorra]

Ya entiendo, por la definición de función, en "\( S|_N:N\longrightarrow X \)" se cumple que para cada \( n\in N \) existe un único \( S(n)\in X \) tal que \( (n,S(n))\in S|_N \), pero como sabemos que \( S(n)\in N \) entonces obtenemos \( S|_N:N\longrightarrow N \). ¿Eso es lo que quiere decir?

Sí, eso he dicho.

[chavsolute]

Sí, eso he dicho.

Una última pregunta, ¿Se asume que "X" es inductivo porque es el conjunto de los números naturales?

[Carlos Ivorra]

Sí, eso he dicho.

Una última pregunta, ¿Se asume que "X" es inductivo porque es el conjunto de los números naturales?

No, \( X \) no es (necesariamente) el conjunto de los números naturales. \( X \) es cualquier conjunto en el que hay definida una aplicación \( S: X\longrightarrow X \) inyectiva y no suprayectiva, y es inductivo por la definición de conjunto inductivo: porque cumple \( 0\in X \) (donde \( 0 \) es cualquier elemento prefijado en \( X\setminus S[X] \)) y si \( n\in X \) entonces \( S(n)\in X \) (lo cual es trivial, porque \( S \) toma imágenes en \( X \)).