Hola.
Necesito ayuda amigos, quiero saber si estos ejercicios de Ecuaciones diferenciales están bien resueltos o de no estarlos me ayuden con las correcciones, se los agradezco mucho por favor.
Me estoy iniciando en el Tema.
Hallar la solución General de la ecuación diferencial:
\(
y" + 10y' +25y = 14e^ {-5x} \)
Esta es una EDO lineal no homogénea de segundo orden
La solución general para
\( a(x) y " + b(x) y' + c(x)y = g(x) \)
Se puede escribir como:
\( y= y_h + y_p \)
Dónde \( y_h \) es la solución para la EDO homogénea \( a(x) y " + b(x) y' + c(x)y = g(x) \)
\( y_p \) , es la solución particular, cualquier función que satisface la ecuación no homogénea.
Hallamos \( y_h \) resolviendo
\( y" + 10y' +25y = 0 \)
Asumiremos una solución de la forma:
\( e^{yx} \)
Reescribimos esta ecuación con
\( y = e^{yx} \)
\( ((e^{yx}))" + 10((e^{yx}))'+25e^{yx}=0 \)
\( e^{yx}( y^2 + 10y +25)=0 \)
\( y^2 +10y +25=0 \)
Resolviendo la ecuación de segundo grado he obtenido una raíz
\( y= -5 \)
Para una raíz real y, la solución general toma la forma de :
\( y= C_1e^{yx} + C_2xe^{yx} \)
\( \displaystyle y =C_1 e^{-5x} + C_2xe^{-5}
\)Luego encontramos y_p que satisfaga
\( y" + 10y' +25y = 14e^ {-5x} \)
Para esta parte no homogénea
\( g(x) = 14e^{-5x} \)
Asumiremos una solución de la forma
\( y = a_0 x^2 e^{-5x} \)
Luego
\( ((a_0 x^2 e^{-5x}))"+10((a_0x^2e^{-5x}))' + 25a_0x^2e^{-5x}= 14e^{-5x} \)
Al simplificar nos queda:
\( 2a_0e^{-5x}= 14e^{-5x} \)
Encontramos solución para el coeficiente \( a_0 \)
\( 2a_0e^{-5x}= 14e^{-5x} \)
Para ello dividimos ambos lados entre \( 2e^{-5x} \)
\( \frac{2a_0 e^{-5x}}{2e^{-5x}}= \frac{14e^{-5x}}{2e^{-5x}} \)
\( a_0= 7 \)
Al sustituir la solución en
\(
y = a_0 x^2 e^{-5x} \)
\( y= 7 x^2 e^{-5x} \)
Una solución particular y_p para
\( y" + 10y' +25y = 14e^ {-5x} \)
Es \( y= 7 x^2 e^{-5x} \)
La solución General \( y= y_h+y_p \) es
\( \displaystyle y= C_1e^{-5x}+ C_2xe^{-5x}+ 7x^2e^{-5x} \)
