Si la separación entre las dos placas es pequeña comparada con sus dimensiones, el potencial eléctrico en el medio viene dado por el problema de contorno $$ \left\{\begin{array}{l}
\displaystyle{-\frac{d}{dx} \left(\varepsilon(x) \frac{dV}{dx} \right)}=\rho_{\nu}(x) \quad x \in (0,L)\\
V(0)=V_0, \quad V(L)=V_L
\end{array} \right.$$ donde $$ \varepsilon(x)$$ es la permitividad del medio, $$\rho_{\nu} = 0$$ al ser el material dieléctrico y $$ V_0$$ y $$V_L$$ son los valores del potencial en las placas.
En todo lo que sigue considera $$L=0.04$$; $$V_0 = 1$$ y $$V_L = $$.
1. Si
$$\displaystyle{\varepsilon(x) = \varepsilon_0 \left(1 + \frac{x}{L} + \frac{x^2}{L^2} +\frac{x^3}{L^3}\right)} $$
con $$\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12}$$
a) a) Probad que el problema de contorno es equivalente a
$$ (P) \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle{V''(x) + \frac{L^2 + 2 x L + 3 x^2}{L^3 +x L^2 + x^2 L + x^3} V'(x) = 0}, \quad x \in (0,L) \\
V(0) = V_0, \quad V(L)=V_L \end{array} \right.$$
(Demostración a papel)
b) Resolved con Matlab el problema (P).
c) Resolvedlo ahora de manera aproximada utilizando diferencias finitas centrales tomando N=10 y N=20. Representad la solución exacta y las soluciones aproximadas obtenidas.
d) Completad una tabla para comparar los errores máximos en función de y estudiad el orden de convergencia
2. Si $$\displaystyle{\varepsilon(x) = \varepsilon_0 \left(1 + \frac{\log(x+1)}{L} + \frac{x^2}{L^2} +\frac{x^3}{L^3}\right)}$$, ¿podéis hacer lo mismo? Utilizad diferencias centrales para aproximar la solución del problema de contorno.
Comparad las soluciones numéricas obtenidas en este ejemplo y en el anterior.
