Hola, estaba haciendo este ejercicio y tengo una duda
1) Sabiendo que $$(a:b)=5$$. Probar que $$(3ab : a^2+b^2) =25 $$
Planteo $$a=5a'$$ y $$ b= 5b'$$ y reemplazo en la expresión del mcd
$$(3ab : a^2+b^2) = 25 (3a'b' : a'^2+ b'^2) $$
Llamo $$d' =(3a'b' : a'^2+ b'^2) $$
Haciendo combinaciones lineales llegué a que $$ d' | 3b'^3 $$ y $$d'|3a'^3$$. Como $$d'$$ divide a ambos entonces divide a su máximo común divisor.
$$d'|(3a'^3: 3b'^3) = 3 (a'^3:b'^3) $$ .
En este punto me queda duda si ¿vale que como a' y b' son coprimos entonces sus potencias también son coprimos y por lo tanto quedaría que
$$d' | 3 $$ con $$(a'^3:b'^3)=1$$?
Si fuera así o bien $$ d'=1 $$ o $$ d'= 3$$
Cuando reemplazo con $$a'= 0$$ y $$b'=1 $$ $$ \Rightarrow{(3.0.1 : 0^2 + 1^2) =1 = d' } $$. Luego $$d =25.d' =25 (3a'b' : a'^2+ b'^2) = 25 .1 = 25 $$
Pero ¿cómo justifico que no encuentro $$a'$$ y $$ b' $$ tal que $$ d' =3$$ ? Estuve buscando casos donde $$(3a'b' : a'^2+ b'^2)=3 $$ pero no encontré.
Por el enunciado se que no voy a encontrar, pero no se justificarlo.
Saludos y gracias por leer
