[Jonathan F.]

Buen día a todos, estuve estudiando algunos problemas, y me tope con este, no es un problema de tarea que tengo ,sino, es un problema de un examen pasado y no se me ocurren muchas ideas, me encuentro un  poco confundido, por favor les pediría si me pudiesen ayudar a resolverlo, a continuación muestro el enunciado.

Problema 1. Encontrar todos los pares \( (a, b) \) de enteros positivos tales que \( a^3 \) es múltiplo de \( b^2 \) y \( b-1 \) es múltiplo de \( a-1 \).
Nota: Un entero \( n \) es múltiplo de un entero \( m \) si existe un entero \( k \) tal que \( n = km \).

[Luis Fuentes]

Hola

Problema 1. Encontrar todos los pares \( (a, b) \) de enteros positivos tales que \( a^3 \) es múltiplo de \( b^2 \) y \( b-1 \) es múltiplo de \( a-1 \).
Nota: Un entero \( n \) es múltiplo de un entero \( m \) si existe un entero \( k \) tal que \( n = km \).

No acabo de encontrarle la vuelta.

Es evidente que si \( a=b \) entonces se cumplen ambas condiciones. Por inspección (con ayuda de ordenador) parece que no hay más soluciones; pero no logro demostrarlo.

¿En qué contexto te surge el problema? Dices que lo has encontrado en un examen pasado. ¿Examen de qué?.

Saludos.

[ancape]

Hola

Problema 1. Encontrar todos los pares \( (a, b) \) de enteros positivos tales que \( a^3 \) es múltiplo de \( b^2 \) y \( b-1 \) es múltiplo de \( a-1 \).
Nota: Un entero \( n \) es múltiplo de un entero \( m \) si existe un entero \( k \) tal que \( n = km \).

No acabo de encontrarle la vuelta.

Es evidente que si a=b entonces se cumplen ambas condiciones. Por inspección (con ayuda de ordenador) parece que no hay más soluciones; pero no logro demostarlo.

¿En qué contexto te surge el problema? Dices que lo has encontrado en un examen pasado. ¿Examen de qué?.

Saludos.

Creo que \[ a^3 \] múltiplo de \[ b^2 \Rightarrow{} \] b divisor de a (no lo he demostrado aún)
En ese caso \[ a=k_1*b \] y como \[ b-1=k_2*(a-1) \] tendremos \[ b=(k_2-1)/(k_2*k_1-1) ; a=(k_1*k_2-k_1)/(k_2*k_1-1 \Rightarrow{}k_1=1; k_2=1 \Rightarrow{a=b} \] 

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que \[ a^3 \] múltiplo de \[ b^2 \Rightarrow{} \] b divisor de a (no lo he demostrado aún)

No tiene porqué; por ejemplo \(a=8\) y \(b=16\). Para cada divisor primo de \( b \), lo que tiene que cumplirse es que el exponente con que aparece en \( a \) sea mayor o igual \(2/3\) del exponente con que aparece en \(b\).

Saludos.

[ancape]

No tiene porqué; por ejemplo \(a=8\) y \(b=16\). Para cada divisor primo de \( b \), lo que tiene que cumplirse es que el exponente con que aparece en \( a \) sea mayor o igual \(2/3\) del exponente con que aparece en \(b\).

Luis
En el ejemplo que pones, claramente b no es divisor de a pero sí al revés. Creo que \[ a^3 \] múltiplo de \[ b^2 \Rightarrow{} \] b divisor de a o a divisor de b (lo he comprobado con el ordenador pero no lo he demostrado).
Con igualdades similares a las que puse en mi anterior comunicación, podemos llegar a \[ a=(k_2-1)/(k_2-k_1) ; b=(k_1*k_2-k_1)/(k_1-k_2) \] que implican \[ a\leq{1} \] y así b=a

[manooooh]

Hola

\[ a^3 \] múltiplo de \[ b^2 \Rightarrow{} \] b divisor de a o a divisor de b (lo he comprobado con el ordenador pero no lo he demostrado).

Pero es que lo marcado en rojo es una trivialidad, se cumple siempre para cualquier \( a,b \). Esa conclusión no tiene relevancia en la demostración que estamos buscando.

Saludos

[ancape]

Hola

\[ a^3 \] múltiplo de \[ b^2 \Rightarrow{} \] b divisor de a o a divisor de b (lo he comprobado con el ordenador pero no lo he demostrado).

Pero es que lo marcado en rojo es una trivialidad, se cumple siempre para cualquier \( a,b \). Esa conclusión no tiene relevancia en la demostración que estamos buscando.

Saludos

Sí tiene relevancia pues tanto si a divisor de b como si b divisor de a se llega a la conclusión a=b.
Además en nuestro problema b no puede ser divisor de a pues la segunda condición a-1 divisor de b-1 implica \[ a\leq{b} \]

Adición
Salvo que sea a=b las dos condiciones que dan son incompatibles

Un saludo

[manooooh]

Hola

Sí tiene relevancia pues tanto si a divisor de b como si b divisor de a se llega a la conclusión a=b.

No necesariamente. "\( 1 \) es divisor de \( 3 \) o \( 3 \) es divisor de \( 1 \)" es verdadero, pero \( 1\neq3 \). En tu mensaje usaste la disyunción "o", quizás querías referirte a la conjunción "y".

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Luis
En el ejemplo que pones, claramente b no es divisor de a pero sí al revés. Creo que \[ a^3 \] múltiplo de \[ b^2 \Rightarrow{} \] b divisor de a o a divisor de b (lo he comprobado con el ordenador pero no lo he demostrado).

Pero tampoco es cierto. Por ejemplo si \( a=2^2\cdot 3^3=108 \) y \( b=2\cdot 3^4=162 \) se tiene que \( a^3=2^63^9 \) es múltiplo de \( b^2=2^2\cdot 3^8 \), pero ni \( a \) es divisor de \( b \) ni \( b \) divisor de \( a \).

Con igualdades similares a las que puse en mi anterior comunicación, podemos llegar a \[ a=(k_2-1)/(k_2-k_1) ; b=(k_1*k_2-k_1)/(k_1-k_2) \] que implican \[ a\leq{1} \] y así b=a

Incluso si \( a \) es divisor de \( b \) del hecho de que \( a-1 \) divida a \( b-1 \) no se deduce que \( a=b \). Por ejemplo \( 4 \) es divisor de \( 16 \) y \( 4-1 \) es divisor de \( 16-1 \).

\[ a^3 \] múltiplo de \[ b^2 \Rightarrow{} \] b divisor de a o a divisor de b (lo he comprobado con el ordenador pero no lo he demostrado).

Pero es que lo marcado en rojo es una trivialidad, se cumple siempre para cualquier \( a,b \). Esa conclusión no tiene relevancia en la demostración que estamos buscando.

No es cierto que lo marcado en rojo se cumple para cualquier \( a,b \). Por ejemplo si \( a=3 \) y \( b=2 \) ninguno es divisor del otro. O el ejemplo que puse antes \( a=108 \) y \( b=162 \), que verifica además que \( b^2|a^3 \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Recupero este problema:

Problema 1. Encontrar todos los pares \( (a, b) \) de enteros positivos tales que \( a^3 \) es múltiplo de \( b^2 \) y \( b-1 \) es múltiplo de \( a-1 \).
Nota: Un entero \( n \) es múltiplo de un entero \( m \) si existe un entero \( k \) tal que \( n = km \).

 Si \( x=a-1 \) e \( y=b-1 \) tenemos por hipótesis que:

1) \( b-1 \) es múltiplo de \( a-1 \), es decir, \( y=kx \) para \( k\geq 1 \).
2) \( a^3 \) es múltiplo de \( b^2 \), es decir, \( (x+1)^3=m(y+1)^2 \) (*)

 De ambas cosas:

\(  (x+1)^3=m(kx+1)^2 \)

\( x^3+(3-mk^2)x^2+(3-2km)x+1-m=0 \)

 Como \( x \) es entero tiene que ser un divisor del término independiente \( m-1 \), es decir, \( wx=m-1 \) con \( w\geq 1 \). Es decir, \( m=wx+1 \)

 Volviendo a (2):

 \( (x+1)^3=(y+1)^2(wx+1) \)

 Pero por (1), \( y\geq x \):

 \( (x+1)^3=(y+1)^2(wx+1)\geq (x+1)^2(wx+1)\quad \Rightarrow{}\quad x+1\geq wx+1\quad \Rightarrow{}\quad 1\geq w\quad \Rightarrow{}\quad w=1 \)

 Por tanto \( m=x+1 y (x+1)^3=(y+1)^2(x+1)\quad \Rightarrow{}\quad x=y\quad \Rightarrow{}\quad a=b \).

Saludos.