[Rania]

Hola, estaba haciendo este ejercicio pero me trabé. ¿Podrían ayudarme?

El ejercicio dice así :

i)Probar que para todo  $$a\in{\mathbb{Z}}$$ vale  $$728|a^{27} - a^3 $$

Factoricé en primos el 728, y me pude armar un sistema de ecuaciones de congruencia (usando el Teorema Chino del Resto) con

$$a^{27}\equiv{ a^3} (7) $$
$$a^{27}\equiv{ a^3} (13) $$
$$a^{27}\equiv{ a^3} (8) $$

Si quiero aplicar el Pequeño Teorema de Fermat (PTF), necesito que 7,13 y 8 no dividan a la base $$a$$
Suponiendo que ninguno divide, uso el PTF y llego a :

$$modulo 7$$
$$a^{27}\equiv{ a^3} (7) \Leftrightarrow{a^{r_6(27)}\equiv{a^3} (7)}\Leftrightarrow{a^3\equiv{a^3}(7)} $$

$$modulo 13$$
$$a^{27}\equiv{ a^3} (13) \Leftrightarrow{a^{r_{12}(27)}\equiv{a^3} (13)}\Leftrightarrow{a^3\equiv{a^3}(13)} $$

$$modulo 8$$
Aquí no podía aplicar el PTF, pues 8 no es primo entonces pensé en su factorización en primos $$2^3$$.
Como 2 es primo, si podía usar el PTF
$$a^{27}\equiv{ a^3} (2) \Leftrightarrow{a^{r_{1}(27)}\equiv{a^3} (2)}\Leftrightarrow{a^0\equiv{a^3}\equiv{1}(2)} $$
No se si tiene sentido hacer esto último.

Me está costando ordenar e interpretar la información para probar lo que me piden. ¿Alguna sugerencia?
Saludos y gracias por leerme

[Masacroso]

Para módulo \( 8 \) puedes dividir en dos casos: \( a \) es coprimo a \( 8 \) o no lo es. En ambos casos obtienes que el resto es cero y ya estaría (me refiero al resto de \( a^{27}-a^3 \)).

Añadido: olvidé mencionar que, para el caso en que suponemos que \( a \) y \( 8 \) son coprimos, tenemos que usar la generalización del teorema de Fermat que es el teorema de Euler.