[McLovin]

Saludos!

Estoy estudiando por mi cuenta algunos contenidos no vistos en asignaturas de mi carrera y me crucé con el siguiente ejercicio:

Usando una expansión en serie, determine el valor de la siguiente integral con un error menor a \[ 10^{-8} \].
\[ \int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x^{3}+1}} \]

Agradecería que me indiquen por favor el contenido teórico para resolver este ejercicio porque estoy algo perdido, he leído un poco sobre Polinomio de Taylor pero siguiendo los ejemplos no se si se puede aplicar en este caso, y de ser así ¿Cómo?

[ancape]

Cuando hay convergencia uniforme, la integral de una serie es la serie de las integrales de sus términos.
Desarrolla \[ \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1+x^3}} \] en serie de potencias

[McLovin]

Ya lo he resuelto usando el Polinomio de Taylor, de hecho solo ha sido necesario uno de orden uno para obtener una respuesta con el error estimado. Mi problema ha sido que, era necesario hacer una sustitución \[ u=x^3 \] para encontrar valores de las derivadas diferentes de cero.

La integral me ha quedado así, pero como mencioné los dos primeros términos son suficientes para la aproximación requerida

\[ \int_{0}^{0,1}{\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}\approx\int_{0}^{0,1}\left[1-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{8}x^6-\frac{5}{16}x^9\right]}dx=\left[x-\frac{1}{8}x^4+\frac{3}{56}x^7-\frac{1}{32}x^{10}\right]_0^{0,1} \]