[Rania]

Hola a todos, estaba haciendo este ejercicio y me trabé:


Resolver en $$\mathbb{Z}$$ las siguientes ecuaciones de congruencia:

$$5^{86} X \equiv{3 (mod\quad89)}$$


El problema que tengo es el módulo 89, porque si bien 89 es primo, 89 no divide a 5 y por Pequeño Teorema de Fermat $$5^{88} \equiv{1 (mod\quad 89)}$$, ésta última no me sirve porque mi potencia es a la 86 y no puedo reemplazar con la congruencia a 1 obtenida.
Entonces comencé a buscar potencias de 5, (potencias menores a 86) que sean congruentes a 1 módulo 89  es decir $$5^{n}\equiv{1 (mod\quad 89)}$$ pero no estoy encontrando. Quizás sea algo muy obvio pero no lo estoy viendo.

¿Alguna sugerencia?  Gracias por leerme.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola a todos, estaba haciendo este ejercicio y me trabé:

Resolver en $$\mathbb{Z}$$ las siguientes ecuaciones de congruencia:

$$5^{86} X \equiv{3 (mod\quad89)}$$

El problema que tengo es el módulo 89, porque si bien 89 es primo, 89 no divide a 5 y por Pequeño Teorema de Fermat $$5^{88} \equiv{1 (mod\quad 89)}$$, ésta última no me sirve porque mi potencia es a la 86 y no puedo reemplazar con la congruencia a 1 obtenida.
Entonces comencé a buscar potencias de 5, (potencias menores a 86) que sean congruentes a 1 módulo 89  es decir $$5^{n}\equiv{1 (mod\quad 89)}$$ pero no estoy encontrando. Quizás sea algo muy obvio pero no lo estoy viendo.

¿Alguna sugerencia?  Gracias por leerme.

Si \( 5^{88}\equiv 1 \) mod \( 89 \), entonces en la ecuación original

\( 5^{86} X \equiv{3 (mod\quad89)} \)

puedes multiplicar a ambos lados por \( 5^2 \) y que queda:

\( 5^{88}X\equiv 3\cdot 5^2 \) mod \( 89 \)

\( x\equiv 75 \) mod 89

Saludos.

[Rania]

Si \( 5^{88}\equiv 1 \) mod \( 89 \), entonces en la ecuación original

\( 5^{86} X \equiv{3 (mod\quad89)} \)

puedes multiplicar a ambos lados por \( 5^2 \) y que queda:

\( 5^{88}X\equiv 3\cdot 5^2 \) mod \( 89 \)

\( x\equiv 75 \) mod 89

Saludos.

Muchas gracias Luis por tu respuesta. Me queda una pregunta que es en relación a operaciones con congruencia. Cuando multiplico a ambos lados de una congruencia como en este caso, que lo hacemos por $$5^2$$, ¿es válido porque (pensándolo por propiedades de la congruencia)  $$5^2 \equiv{5^2 (mod \quad 89)}$$ y como la ecuación original también es congruente módulo 89, puedo multiplicar a ambos lados? (La propiedad era:
 $$a_1 \equiv{b_1 (mod \quad d)}  $$ y $$a_2 \equiv{b_2 (mod \quad d)} \Rightarrow{a_1a_2\equiv{b_1b_2(mod \quad d)}}$$)

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias Luis por tu respuesta. Me queda una pregunta que es en relación a operaciones con congruencia. Cuando multiplico a ambos lados de una congruencia como en este caso, que lo hacemos por $$5^2$$, ¿es válido porque (pensándolo por propiedades de la congruencia)  $$5^2 \equiv{5^2 (mod \quad 89)}$$ y como la ecuación original también es congruente módulo 89, puedo multiplicar a ambos lados? (La propiedad era:
 $$a_1 \equiv{b_1 (mod \quad d)}  $$ y $$a_2 \equiv{b_2 (mod \quad d)} \Rightarrow{a_1a_2\equiv{b_1b_2(mod \quad d)}}$$)

Si, es válido. Es más en este caso como \( 89 \) es primo, \( \Bbb Z_{89} \) es un cuerpo; puedes sumar, restar, multiplicar y dividir (excepto por cero) como quieras y todo funciona "como es esperable".

Por ejemplo de tu ecuación podrías haber despejado directamente \( x \):

\( 5^{86}X\equiv 3 \) mod \( 88 \)
\( X\equiv 3\cdot 5^{-86}\equiv 3\cdot 5^{-86+88}\equiv 3\cdot 5^2 \) mod \( 88 \)

Saludos.