[lorrey]

Hola.
Estoy con teoremas límites de cadenas de Markov con matriz de transición P donde \( P^m_{ij} \) es la entrada ij de la matriz  \( P^m \). En otras palabras \( P^m_{ij} \) es un real no negativo. Se me presenta lo siguiente:

Sabiendo que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{m=1}^{n}P^m_{ij}=0 \) para todo i, j.

Luego, sumando sobre j obtenemos:

\( 0=\sum_{j=1}^{k}\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{m=1}^{n}P^m_{ij} \)            (1)
\( =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{k}\sum_{m=1}^{n}P^m_{ij} \)              (2)
\( =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{m=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}P^m_{ij} \)              (3)
\( =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{m=1}^{n}1=1  \), lo cual es una contradicción.    (4)

CONSULTAS:
En 1: No entiendo por qué aparece \( \sum_{j=1}^{k} \). ¿Qué significa lo que aparece en ese miembro?

En 2: No sé qué permite intercambiar suma por límite

En 3: Qué permite intercambiar las sumas?

AGRADEZCO PRONTA RESPUESTA YA QUE TENGO EXAMEN EN BREVE.

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy con teoremas límites de cadenas de Markov con matriz de transición P donde \( P^m_{ij} \) es la entrada ij de la matriz  \( P^m \). En otras palabras \( P^m_{ij} \) es un real no negativo. Se me presenta lo siguiente:

Sabiendo que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{m=1}^{n}P^m_{ij}=0 \) para todo i, j.

Luego, sumando sobre j obtenemos:

\( 0=\sum_{j=1}^{k}\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{m=1}^{n}P^m_{ij} \)            (1)
\( =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{k}\sum_{m=1}^{n}P^m_{ij} \)              (2)
\( =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{m=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}P^m_{ij} \)              (3)
\( =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{m=1}^{n}1=1  \), lo cual es una contradicción.    (4)

CONSULTAS:
En 1: No entiendo por qué aparece \( \sum_{j=1}^{k} \). ¿Qué significa lo que aparece en ese miembro?

Significa lo que siempre significan los sumatorios. Que sumas los que aparece después para índices desde \( 1 \) hasta \( k \). Tu sabes que la igualdad:

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{m=1}^{n}P^m_{ij}=0 \)

es cierta para cualesquiera \( i,j \).

Pues entonces por ejemplo si la matriz es \(  3\times 3 \), es decir, \( k=3. \) Puedes tomar:

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{m=1}^{n}P^m_{i1}+\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{m=1}^{n}P^m_{i2}+\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{m=1}^{n}P^m_{i3}=0 \)

que se escribe equivalentemente como:

\( 0=\displaystyle\sum_{j=1}^{3}\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{m=1}^{n}P^m_{ij} \)

En 2: No sé qué permite intercambiar suma por límite

Las propiedades de los límites:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}(a_n+b_n)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}a_n+\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}b_n \)

Si se cumple para dos sucesiones se cumple para un número finito sin más que usar la propiedad cuantas veces sea necesario.

En 3: Qué permite intercambiar las sumas?

Que aparezcan dos sumatorios entrelazados significa que sumas lo que aparece después con todas las posibilidades indicadas para ambos índices; dado que la suma es conmutativa, es indiferente el orden en que hagas la suma y por tanto el orden en que coloquemos los sumatorios.

Saludos.

[lorrey]

En 1: No entiendo por qué aparece \( \sum_{j=1}^{k} \). ¿Qué significa lo que aparece en ese miembro?


Significa lo que siempre significan los sumatorios. Que sumas los que aparece después para índices desde \( 1 \) hasta \( k \). Tu sabes que la igualdad:

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{m=1}^{n}P^m_{ij}=0 \)

es cierta para cualesquiera \( i,j \).

Gracias. No fui clara. O sea, la igualdad vale porque está igualado a cero. Si el resultado no fuera cero no podría agregar esa sumatoria así como así, no?

En 2: No sé qué permite intercambiar suma por límite

Las propiedades de los límites:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}(a_n+b_n)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}a_n+\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}b_n \)

Si se cumple para dos sucesiones se cumple para un número finito sin más que usar la propiedad cuantas veces sea necesario.

Se había hablado en clase de convergencia dominada. Pero según planteas no aplica esa convergencia acá. Yo estuve buscándola y no logré relacionarlo por eso lo consulté acá.

GRACIAS por tu claridad!!!!

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias. No fui clara. O sea, la igualdad vale porque está igualado a cero. Si el resultado no fuera cero no podría agregar esa sumatoria así como así, no?

Si el resultado no fuese cero, pues entonces no igualarías a cero, sino a la suma de los resultados. No acabo de ver que te choca. Si tienes varias ecuaciones:

\( A=B \)
\( C=D \)
\( E=F \)

entonces

\( A+C+E=B+D+F \)

Es lo que se está haciendo. En tu caso a la derecha sólo hay ceros y a la izquierda una expresión con un límite; pero la esencia es la misma.

Se había hablado en clase de convergencia dominada. Pero según planteas no aplica esa convergencia acá. Yo estuve buscándola y no logré relacionarlo por eso lo consulté acá.

Si; pero no hay nada de eso. Es más sencillo. Te en cuenta que:

\( (a_{ij})_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{m=1}^n{}P^m_{ij} \)

son sucesiones y lo único que haces es sumar un número finito de ellas. El límite de la suma es la suma de los límites.

Saludos.

[lorrey]

Muchísimas gracias!!!!!!