Hola!
Sabemos que si un grupo es cíclico, todos los subgrupos son cíclicos.
Los subgrupos cíclicos son aquellos que están generados por los elementos del subgrupo.
Un grupo es cíclico si existe al menos un elemento que genera a todo el grupo.
Ahora bien, sabemos que si el grupo NO es cíclico, habrán subgrupos cíclicos y subgrupos NO cíclicos.
Mi pregunta es si hay alguna manera de encontrar estos últimos con alguna fórmula o algoritmo, o si depende del grupo.
Una muy buena idea sería usar el teorema de Lagrange para saber cuál es el orden de los subgrupos. Por ejemplo, si el grupo tienen orden 8 los posibles subgrupos son de orden 1, 2, 4 y 8. El de orden 1 es el trivial que es cíclico, el de orden 8 es el impropio. Faltaría analizar los de orden 2 y 4. Pero los de orden 2 son de la forma \( \{e,a\} \) con \( a \) elemento involutivo (también son cíclicos cuando se vio lo que generaba cada elemento del grupo). Y los de orden 4 seguro uno es el neutro, y los otros se pueden ir tomando de a pares y ver si 1) operándolos da otro elemento, 2) es realmente un subgrupo.
Pero hacer este análisis es, como ven, bastante tedioso y no automático.
¿Hay alguna otra forma de hallar estos subgrupos no cíclicos?
Gracias!!
Saludos
