[Mariana@l]

Holaa chicos/as me pueden ayudar porfaa

Sean \( x,y,z  \)números reales tales que cumplan las ecuaciones

\(  \displaystyle\frac{5}{31}= \displaystyle\frac{yz}{x+y+z}  \)     

\(  \displaystyle\frac{3}{31}=\displaystyle\frac{zx}{x+y+z}  \) 

\(  \displaystyle\frac{2}{31}= \displaystyle\frac{xy}{x+y+z}  \) 

Encuentra el valor de \( x + y + z - xyz \)

[delmar]

Hola

Una forma dividiendo la primera entre la segunda, luego la primera entre la tercera, se tiene respectivamente :


\( \displaystyle\frac{5}{3}=\displaystyle\frac{y}{x}\Rightarrow{y=\displaystyle\frac{5x}{3}} \)



\( \displaystyle\frac{5}{2}=\displaystyle\frac{z}{x}\Rightarrow{z=\displaystyle\frac{5x}{2}} \)


Luego sustituyendo z e y en la primera ecuación se tiene :

\( \displaystyle\frac{5}{31}=\displaystyle\frac{(\displaystyle\frac{5x}{3}) \ (\displaystyle\frac{5x}{2})}{x+(\displaystyle\frac{5x}{3})+(\displaystyle\frac{5x}{2})} \) se despeja x con ese valor, se obtienen los valores de z e y luego se calcula el valor de  la expresión x+y+z-xyz

Saludos

[feriva]

Holaa chicos/as me pueden ayudar porfaa

Sean x,y,z números reales tales que cumplan las ecuaciónes

\(  \displaystyle\frac{5}{31}= \displaystyle\frac{yz}{x+y+z}  \)     

\(  \displaystyle\frac{3}{31}=\displaystyle\frac{zx}{x+y+z}  \) 

\(  \displaystyle\frac{2}{31}= \displaystyle\frac{xy}{x+y+z}  \) 

Encuentra el valor de x + y + z - xyz

Puedes también hacer x+y+z=t para operar con más comodidad; entonces:

\( {\displaystyle \frac{5}{31}={\displaystyle \frac{yz}{t}}} \)

y así

\( {\displaystyle \frac{5t}{yz}={\displaystyle 31}} \)

\( {\displaystyle \frac{3t}{zx}={\displaystyle 31}} \)

\( \dfrac{2t}{xy}=31 \)

Ahora, por igualación

\( {\displaystyle 5x={\displaystyle 3y}} \)

\( {\displaystyle 5x={\displaystyle 2z}} \)

\( {\displaystyle 3y={\displaystyle 2z}} \)

y de ahí

\( x=x;\,y=\dfrac{5x}{3};\,z=\dfrac{5x}{2} \)

Con lo que

\( t=x+y+z=\dfrac{31}{6}x \)

Viniendo ahora aquí, \(  {\displaystyle \frac{2}{31}={\displaystyle \frac{xy}{x+y+z}}}  \), sutituyendo tenemos

\( {\displaystyle 2={\displaystyle 6y\Rightarrow y=\dfrac{1}{3}}} \)

Viniendo aquí \( {\displaystyle 5x={\displaystyle 3y}} \) tienes \( x=\dfrac{1}{5}  \) y aquí \(  {\displaystyle 3y={\displaystyle 2z}}  \) tienes \(  z=\dfrac{1}{2}  \)

(Si no me he equivocado)

Saludos.