Hay varias formas de entender un exponente \(t\) real fraccionario,
pero te voy a dar un método que es rápido de comprender.
Primero que nada, \(x^{1/k} = \sqrt[k]x\), lo cual se toma como una convención.
Esto es válido para \(x\geq 0\).
Para \(x\) negativo se toman otros caminos, que no vienen al caso...
En particular, si \(k\) es una potencia de 2, \(k=2^j\),
entonces
\[
x^{1/k}=\sqrt[2^j] x = \underbrace{\sqrt{\sqrt{\ldots \sqrt x}}}_j.
\]
Es decir, en el miembro derecho se han tomado \(j\) raíces cuadradas consecutivas.
Finalmente, escribimos un número real positivo \(t\) según su desarrollo en dígitos binarios, así:
\[t = N + \sum_{j=1}^\infty \dfrac{d_j}{2^{-j}}.\]
Definimos ahora:
\[
\begin{align*}
x^t & = x^N\cdot x^{ \sum_{j=1}^\infty \dfrac{d_j}{2^{-j}}}\\
& = x^N\cdot \prod_{j=1}^\infty \sqrt[2^j]x^{d_j}.
\end{align*}
\]
Cada uno de los términos de ese producto es algo que ahora sabes calcular.
Luego, vas multiplicando en forma iterativa a medida que crece el valor de \(j\)
desde 1 en adelante.
Obviamente, el resultado final sólo se alcanza con un límite.
A los fines prácticos, podrías conformarte con una aproximación,
trabajando con una cantidad truncada de dígitos binarios,
y dejar el producto de infinitos términos como parte de un desarrollo teórico
en el caso de que te haga falta deducir formalmente alguna cosa.
Lo bueno de este método es que para cada subsiguiente valor de \(j\),
sólo tienes que extraer una nueva raíz cuadrada al factor que hubieras
calculado en el paso anterior.
De todas maneras, sólo te he dado una receta para calcular una potencia.
Hay otros métodos de definir la potencia de exponente real,
y que pueden ser más convenientes, ya sea en forma teórico como práctica.
Saludos.
