[CainAlexis]

Buenas Tardes tengo que ejercicio que vea por donde lo vea no encuentro como resolver la segunda mitad.

La cantidad de matrices de orden 3 que se pueden armar con tres 1, tres 2 y tres 0 y cuya traza valga 4.

[Masacroso]

Buenas Tardes tengo que ejercicio que vea por donde lo vea no encuentro como resolver la segunda mitad.

La cantidad de matrices de orden 3 que se pueden armar con tres 1, tres 2 y tres 0 y cuya traza valga 4.

Que la traza valga cuatro implica que la diagonal de tal matriz debe ser de uno de estos dos tipos: dos doses y un cero, o dos unos y un dos. Entonces puedes contar primero las del primer tipo y después las del segundo y sumarlas para hallar el número total de matrices que cumplan con las condiciones dadas. Te cuento las del primer tipo y te dejo las del segundo tipo a ti.

Primero, ¿de cuántas formas distintas se pueden poner dos doses y un cero en la diagonal? De tres formas distintas. Ahora, ¿de cuántas formas diferentes se pueden poner los restantes elementos en la matriz? Eso es equivalente a preguntar de cuántas formas distintas se pueden distribuir un dos y dos ceros en seis posiciones diferentes. Si ponemos primero el dos, éste se puede poner en seis posiciones diferentes, y de las cinco posiciones restantes hay \( \binom{5}{2} \) formas de poner los ceros, es decir que en total hay \( 6\cdot \binom{5}{2}=60 \) formas diferentes de distribuir los elementos fuera de la diagonal, por tanto el total de matrices del primer tipo es \( 3\cdot 60=180 \).

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas Tardes tengo que ejercicio que vea por donde lo vea no encuentro como resolver la segunda mitad.

La cantidad de matrices de orden 3 que se pueden armar con tres 1, tres 2 y tres 0 y cuya traza valga 4.

Otra forma de contar lo mismo que ha explicado Masacroso.

En general te será útil tener en cuenta la fórmula de las permutaciones con repetición de \( n \) elementos de los cuales algunos se repiten \( k_1,k_2,\ldots,k_s \) veces:

\( PR_{n;k_1,k_2,\ldots,k_s}=\dfrac{n!}{k_1!k_2!\ldots k_s!} \)

Entonces las posibilidades para \( traza=4 \) son:

- Con dos \( 2 \)s y un cero. Hay \( PR_{3;2,1} \) formas de colocarlos en la diagonal. Por cada una de ellas, los elementos restantes son 3 unos, 1 dos y 2 ceros: \( PR_{6;3,2,1} \).

- Con un \( 2 \)s y dos unos. Hay \( PR_{3;2,1} \) formas de colocarlos en la diagonal. Por cada una de ellas, los elementos restantes son 3 ceros, 2 doses y 1 uno: \( PR_{6;3,2,1} \).

En total:

\( PR_{3;2,1}\cdot PR_{6;3,2,1}+PR_{3;2,1}\cdot PR_{6;3,2,1} \)

Saludos.