[anthony]

Buenas, la pregunta es
Sea  \( f: (X,t) \longrightarrow{} (Y,t') \) una identificación:
a) Demostrar que si \( (X,t) \) es arcoconexo entonces \( (Y,t') \) también lo será
b) Demostrar que si \( (X,t) \) es compacto entonces \( (Y,t') \) también lo será

Al ser \( f \) sobreyectiva y continua los abiertos son los mismos en ambas topologías, no? ya que tenemos \(  t'= \left\{{A \subset{} Y| f^{-1}(A) \in{} t}\right\} \) entonces como \( f \) es continua todo abierto de \( t' \) cumple eso y como \( f \) es sobreyectiva tenemos \( f(f^{-1}(A))=A \) por lo que ambos espacios topológicos comparten los mismos abiertos pero no sé como concluir.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas, la pregunta es
Sea  \( f: (X,t) \longrightarrow{} (Y,t') \) una identificación:
a) Demostrar que si \( (X,t) \) es arcoconexo entonces \( (Y,t') \) también lo será
b) Demostrar que si \( (X,t) \) es compacto entonces \( (Y,t') \) también lo será

Al ser \( f \) sobreyectiva y continua los abiertos son los mismos en ambas topologías, no? ya que tenemos \(  t'= \left\{{A \subset{} Y| f^{-1}(A) \in{} t}\right\} \) entonces como \( f \) es continua todo abierto de \( t' \) cumple eso y como \( f \) es sobreyectiva tenemos \( f(f^{-1}(A))=A \) por lo que ambos espacios topológicos comparten los mismos abiertos pero no sé como concluir.

Los mismos abierto no, porque en \( X \) los abiertos son subconjuntos de \( X \) y en el otro espacio subconjuntos de \( Y \).

Para el primero ten en cuenta que por ser sobreyectiva dados \( y,y'\in Y \) existen \( x,x'\in X \) tales que \( f(x)=y \) e \( f(x')=y' \). Pero como \( X \) es conexc por caminos, puedes unir \( x,x' \) por un camino y luego componer con \( f \) para unir \( y,y' \),

Para el segundo simplemente usa que la imagen continua de un compacto es compacta.

Saludos.