Tengo que estudiar la convergencia de la siguiente serie. Os la mando en una foto porque no sé escribir en \( \LaTeX \) por aquí. Perdonadme y espero no ocasionar problemas.
\( \displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty }\left(\sqrt[n]{e}-1-\frac1{n}\right)
} \)
Mensaje de la moderación: se ha corregido el \( \LaTeX \), la ortografía y se ha cambiado el título por uno más informativo.
Recuerda leer y seguir las reglas del foro así como el tutorial de \( \LaTeX \) para escribir las expresiones matemáticas correctamente.
He movido el tema al subforo de análisis matemático, aunque ahora no me queda claro si es posible que éste fuese un ejercicio de alguna oposición o concurso viendo el otro tema que también has abierto. La próxima vez acláralo en el cuerpo del mensaje.
Respecto a estudiar la convergencia de la serie \( \sum_{n\geqslant 1}f(n) \), a mí lo primero que se me ocurre es ver si el sumando es monótono a partir de algún valor de \( n \), o dicho de otro modo, si existe un \( N\in \mathbb{N} \) tal que \( f(n)\geqslant f(n+1) \) para todo \( n\geqslant N \), o si \( f(n)\leqslant f(n+1) \) para todo \( n\geqslant N \). Para eso estudio la función \( f(x):=e^{1/x}-1/x-1 \) en \( (0,\infty ) \) y observo que \( f'(x)=(1-e^{1/x})/x^2 \), por tanto \( f'(x)<0 \) en esa región si y solo si \( x>0 \), lo que indica que tal función es estrictamente decreciente.
A partir de ahí puedo aplicar el criterio de la integral para estudiar la convergencia de la serie, obteniendo que
\( \displaystyle{
\int_{1}^{\infty }\left(e^{1/x}-1-\frac1{x}\right)\,d x=\int_{0}^1 \frac{e^y-y-1}{y^2}\,d y=\int_{0}^1 \sum_{n\geqslant 0}\frac{y^n}{(n+2)!}\,d y=\sum_{n\geqslant 0}\frac1{(n+2)!}\int_{0}^1 y^n \,d y=\sum_{n\geqslant 0}\frac{1}{(n+1)(n+2)!}
} \)
siendo la última serie claramente convergente.
Añado: otra manera mucho más directa es observar que para \( x\geqslant 1 \)
\( \displaystyle{
0\leqslant e^{1/x}-\frac1{x}-1=\sum_{n\geqslant 2}\frac{x^{-n}}{n!}=x^{-2}\sum_{n\geqslant 0}\frac{x^{-n}}{(n+2)!}\leqslant x^{-2}\sum_{n\geqslant 0}\frac{x^{-n}}{n!}=x^{-2}e^{1/x}\leqslant x^{-2}e
} \)
Por tanto por el criterio del sándwich la serie converge.
