[feriva]

Pero no veo la ventaja frente al método de copiar cada fila y trasladarla una posición. Es muy simple de entender y vale para todo orden impar. Para órdenes pares los criterios de construcción (con garantías de éxito) ya no son tan simples.

Sí, es que lo había mirado muy deprisa, como siempre.

Se observa lo siguiente, el método de Euler da lugar a dos diagonales, en una todos los números (o análogamente las letras) son distintos (no importa la elección, vale 1,2,3,4... en la diagonal principal, son sólo símbolos diferentes) en la otra diagonal todos son iguales.

Con las letras, al contrario, en la diagonal que son los números iguales, las letras son distintas, y donde son distintos los números, las letras son iguales (pero, ciertamente, no lo tuve en cuenta, no pensé en ello, sólo en la diagonal principal con los números). Esto es consecuencia del arrastre que hace Euler en las filas y pasa siempre.

Lo dicho da lugar a cuatro triángulos, los cortados por las diagonales.

En el caso de los números pares, los triángulos no tienen vértice en el centro, se truncan. Y en el caso del 6 pasa esto

\( \begin{array}{|l|r|r|r|r|r|r}
\hline  & {\color{brown}a} & {\color{brown}b} & {\color{brown}c} & {\color{brown}d} & {\color{brown}f} & {\color{brown}g}\\
\hline {\color{brown}1} & (1,0) &  &  &  &  & (5,0)\\
\hline {\color{brown}2} &  & (2,0) &  &  & (5,0)\\
\hline {\color{brown}3} &  &  & (3,0) & (5,0) & \\
\hline {\color{brown}4} &  &  & (5,0) & (4,0) &  & {\color{brown}}\\
\hline {\color{brown}5} &  & (5,0) &  &  & (5,0)\\
{\color{brown}6} & (5,0) &  &  &  &  & (6,0)
\\\hline \end{array} \)

Colocada la diagonal de números distintos en el orden natural (con cualquier otro número repetido en la contradiagonal) siempre coinciden dos, como el 5 aquí. Pero el orden natural, en realidad, no es más que un conjunto de símbolos distintos; así que sólo con esto, aun sin considerar colores, ya parece que no se va a poder (parece, no quiero afirmar rotundamente nada).

¿Podría bastar sólo con las diagonales los números (sin letras) para analizar los casos? No, ya he visto, hacen falta las letras para verlo; y ese método no vale paralos pares

No me atrevo a afirmarlo, no quiero meter la pata otra vez con una intuición apresurada (no por ti, por el “señor del comentario de más arriba”, el comeintucionistas, que ya sabemos cómo se las gasta, lo mismo me manda a galeras).

Hay una cosa más que quiero analizar, pero más despacio, que es la cantidad de elementos que quedan custodiados por las diagonales; en este caso son 6 en cada triángulo, 24 en total, un valor divisible por 6 sólo una vez y múltiplo de cuatro. Habrá que mirar a ver qué puede pasar con los demás, aunque sea por curiosidad.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Es que mi intuición iba más allá, pero no sé si se cumple; es que sospecho que si se colocan los elementos (1,0); (2,0)... (n,0) en la diagonal, si tiene soluciones, por ahí sale una de ellas; pero ahora que lo dices... pues a lo mejor no ocurre siempre.

No, no ocurre siempre. El caso más claro es el \( 6\times 6 \). Puedes hacer un cuadrado latino con la diagonal que dices, pero es imposible completarlo hasta un cuadrado grecolatino porque en ese caso no existen.

Colocada la diagonal de números distintos en el orden natural (con cualquier otro número repetido en la contradiagonal) siempre coinciden dos, como el 5 aquí. Pero el orden natural, en realidad, no es más que un conjunto de símbolos distintos; así que sólo con esto, aun sin considerar colores, ya parece que no se va a poder (parece, no quiero afirmar rotundamente nada).

No se va a poder porque no existen cuadrados grecolatinos de orden \( 6 \).

¿Podría bastar sólo con las diagonales los números (sin letras) para analizar los casos? No, ya he visto, hacen falta las letras para verlo; y ese método no vale para los pares

No me atrevo a afirmarlo, no quiero meter la pata otra vez con una intuición apresurada (no por ti, por el “señor del comentario de más arriba”, el comeintucionistas, que ya sabemos cómo se las gasta, lo mismo me manda a galeras).

No creo que haya reglas tan simples. Lo que sucede en general es que, cuando \( n \) es impar, la tabla de cualquier grupo finito de orden \( n \) es un cuadrado latino completable hasta un cuadrado grecolatino, y el método descrito en las transparencias es simplemente la construcción de la tabla de un grupo cíclico. Pero ese método no funciona para los órdenes pares.

Otro método permite construir cuadrados grecolatinos a partir de los cuerpos finitos, que tienen siempre \( p^n \) elementos, con \( p \) primo (excepto en el caso \( n=2 \)), y luego hay un método bastante simple para "multiplicar" un cuadrado de orden \( m \) por otro de orden \( n \) y así construir un cuadrado de orden \( mn \). Combinando la construcción para \( n \) impar con la construcción para \( n = 2^k \) con el "producto" de cuadrados grecolatinos se pueden construir cuadrados de los órdenes que Euler conjeturó que eran posibles, es decir, para \( n\equiv 2\, (\mbox{mod}\,4) \). Construir cuadrados en los demás casos, es decir, para \( n = 10, 14, 18, 22, \ldots \) no es fácil y no hay recetas sencillas.

[feriva]

Es que mi intuición iba más allá, pero no sé si se cumple; es que sospecho que si se colocan los elementos (1,0); (2,0)... (n,0) en la diagonal, si tiene soluciones, por ahí sale una de ellas; pero ahora que lo dices... pues a lo mejor no ocurre siempre.

No, no ocurre siempre. El caso más claro es el \( 6\times 6 \). Puedes hacer un cuadrado latino con la diagonal que dices, pero es imposible completarlo hasta un cuadrado grecolatino porque en ese caso no existen.

Colocada la diagonal de números distintos en el orden natural (con cualquier otro número repetido en la contradiagonal) siempre coinciden dos, como el 5 aquí. Pero el orden natural, en realidad, no es más que un conjunto de símbolos distintos; así que sólo con esto, aun sin considerar colores, ya parece que no se va a poder (parece, no quiero afirmar rotundamente nada).

No se va a poder porque no existen cuadrados grecolatinos de orden \( 6 \).

¿Podría bastar sólo con las diagonales los números (sin letras) para analizar los casos? No, ya he visto, hacen falta las letras para verlo; y ese método no vale para los pares

No me atrevo a afirmarlo, no quiero meter la pata otra vez con una intuición apresurada (no por ti, por el “señor del comentario de más arriba”, el comeintucionistas, que ya sabemos cómo se las gasta, lo mismo me manda a galeras).

No creo que haya reglas tan simples. Lo que sucede en general es que, cuando \( n \) es impar, la tabla de cualquier grupo finito de orden \( n \) es un cuadrado latino completable hasta un cuadrado grecolatino, y el método descrito en las transparencias es simplemente la construcción de la tabla de un grupo cíclico. Pero ese método no funciona para los órdenes pares.

Otro método permite construir cuadrados grecolatinos a partir de los cuerpos finitos, que tienen siempre \( p^n \) elementos, con \( p \) primo (excepto en el caso \( n=2 \)), y luego hay un método bastante simple para "multiplicar" un cuadrado de orden \( m \) por otro de orden \( n \) y así construir un cuadrado de orden \( mn \). Combinando la construcción para \( n \) impar con la construcción para \( n = 2^k \) con el "producto" de cuadrados grecolatinos se pueden construir cuadrados de los órdenes que Euler conjeturó que eran posibles, es decir, para \( n\equiv 2\, (\mbox{mod}\,4) \). Construir cuadrados en los demás casos, es decir, para \( n = 10, 14, 18, 22, \ldots \) no es fácil y no hay recetas sencillas.

Sí que es complicado, ya lo he ido mirando más despacio. Pero es bonito.

Muchas gracias, Carlos.