Hola; tengo unas dudas mas o menos "surtidas" sobre conicas; algunas dudas se conectan, a mi parecer actual al menos, con otras (varias sino todas estos temas ya han sido tratados en respuestas a otras preguntas que hiciera anteriormente); en todo caso, escribire algunas tal como alcanzo a formularlas (parte del interes de esto seria expresar las dudas en estado espontaneo, o en bruto por asi, etc.);
1) respecto del punto de tangencia, en un plano proyectivo, de una parabola (afin) con la recta del infinito (o tal vez seria mejor decir: respecto de la parabola como una conica que tiene un punto de tangencia con la recta impropia en un plano proyectivo): es correcto (si fuera correcto, seria trivial, logicamente) afirmar que, dado que una recta proyectiva (en este caso impropia) esta definida por dos puntos, entonces el punto de tangencia de la recta impropia con la parabola es solo uno de 2 puntos que dan la definicion de la recta en cuestion (dicho de otro modo y en contexto: no habia observado antes que el que una parabola tenga un punto de interseccion con la recta impropia concierne o afecta tan solo a uno de 2 puntos de relevancia para la recta impropia: ergo, se puede afirmar que un punto del infinito es tangente la parabola mientras que (el) otro punto del infinito (relevante en el sentido anterior, digamos) queda en el exterior de la conica (o disjunto)?
A partir de, o en relacion a la duda anterior, tengo otras varias; por ejemplo:
2) la conica del infinito para una parabola (afin) definida en un plano proyectivo, es una conica degenerada? (trasladando esto al contexto de la pregunta anterior, quedaria: puesto que una parabola (afin) tiene solo un punto de tangencia con la recta impropia, es decir, puesto que tiene solo un punto del infinito como punto tangente, y dado que la recta impropia se define por 2 puntos, entonces se tiene que la conica del infinito es deficiente, es decir, es degenerada?
3) (desafortunadamente) no logro aun conectar el tema de los autovalores de una matriz que exprese a una parabola, por un lado (por ej. como una raiz doble vs como 2 raices simples) y el tema de la pregunta anterior, a saber: una recta impropia del plano proyectivo de cuyo par de puntos que la definen, tan solo uno esta en tangencia con la parabola (afin) (antes, ni siquiera advertia que, suponiendo que la respuesta a la pregunta anterior fuera afirmativa, hay 2 puntos relevantes, uno que hace tangencia y otro que queda exterior): suponiendo que el que hace tangencia junto con el exterior de ambos puntos impropios se pusieran en correspondencia con los autovalores de la matriz correspondiente, la pregunta apunta a como se conecta el caso de 2 puntos (impropios), por un lado, con los autovalores (o autovectores) (?); no se si se habra entendido algo de por donde pasa mi duda en este ultimo caso (!).
Saludos
