Aparentemente hay dos bandos opuestos en este hilo,
y yo estoy listo ya para armar un gremio junto a Eparoh y Masacroso.
Mmmm... Me parece que estás "secuestrando" a Eparoh para meterlo en tu gremio. Al fin y al cabo, ni geómetracat ni yo le hemos objetado nada a su intervención.
La cuestión es que los lógicos parecen entenderse entre sí,
y ven "obvias" cosas que el resto de los mortales no vemos.
No puedo hablar en nombre de "los lógicos", pero considero que lo que estamos hablando aquí no tiene nada de obvio. Yo he discutido personalmente estos temas con algunos matemáticos de competencia incuestionable y en algunos casos han sido más receptivos y en otros escépticos hasta la saciedad. Casualmente, los más receptivos han sido los que se daban cuenta de que necesitaban entender la fundamentación de las matemáticas para entender algunos resultados de su área de trabajo, donde aparecían afirmaciones indecidibles, un tanto a su pesar.
Cuando alguien, incluso un matemático, no habituado a la forma de trabajar en la parte de fundamentos, modelos, etc., intenta introducirse en el tema, se encuentra con las lagunas expositivas que denuncia Masacroso.
Sí. Muchos libros evitan dar muchos detalles, supongo que porque eso supondría llenar muchas páginas con contenido más filosófico que matemático y eso les da mucha pereza. Probablemente, estas cosas las aprenden los estudiantes mediante el "boca a boca".
Me gustaría decir "yo entendí la lógica formal leyendo tal libro", pero me temo que no recuerdo haber leído ningún libro del que pueda decir que saqué mis conclusiones al respecto. Más bien, a medida que me propuse explicarme a mí mismo la lógica matemática (la que cuentan los libros), fui dándome cuenta de que necesitaba entender cómo podía uno hacer afirmaciones metateóricas fiables y, poco a poco, fui puliendo por mi mismo mi análisis de qué tiene sentido metamatemáticamente y qué no, hasta que me di cuenta de que iba por el buen camino dado que, entendiendo las cosas así, lo que decían los libros tenía plena coherencia y sentido (y resultaba convincente).
Entonces, creo que se nos está acusando de pretender una axiomatización de la metamatemática, cuando el planteo que hemos hecho no era ese exactamente, o quizás sí en el caso de Masacroso.
Pues eso pensaba yo, pero tú aclaraste que no, y creo que tuve en cuenta tu aclaración en mi respuesta y te respondí en los términos que planteabas incluyendo esa aclaración —o eso pensé.
Hay varias objeciones que se entremezclan, y como somos del bando de los "outsiders", entonces nos cuesta ver qué es lo que nos molesta.
Pero creo distinguir al menos 3 tipos de objeciones:
1. Los autores de textos de Lógica, al explicar la metateoría, o no dicen nada, o dicen poco, o evaden el tema, o lo explican de forma nebulosa, o bien incluso de forma equivocada (como parece extraerse de la discusión entre Masacroso y Carlos).
No lo niego. Tampoco puedo dar estadísticas, porque el hecho es que cuando he consultado un libro de lógica (de un tiempo a esta parte) no he necesitado aclaraciones de este tipo y no sabría decir hasta qué punto las había y no les prestaba atención o simplemente no estaban y no las necesitaba, o si las pocas que hubiera podrían ser suficientes o no. Vamos, que no lo sé. En general, tengo mala memoria para recordar si un libro que he leído es bueno o malo desde un punto de vista didáctico (supuesto que lo haya entendido, claro, y no suelo pelearme con los libros que no entiendo.)
2. Las reglas no son claras, y se requiere un conjunto de reglas comunes como punto de partida para que todos nos pongamos de acuerdo en cómo vamos a trabajar. Esto no significa que uno exija una axiomatización de la metamatemática, sino reglas claras y honestas de juego.
Pero ahí ya discrepamos. Yo he escrito un libro de lógica, pero si me preguntas cuáles son las reglas de juego que he supuesto al redactarlo me quedo en blanco. No sabría que contestarte. No he supuesto ningunas reglas que trate de ocultar. Simplemente, no he escrito nada en mi libro que honestamente no me parezca que tiene un sentido muy preciso y que es verdad. Obviamente, puedo haberme equivocado en algo, como cualquier mortal, y se me puede haber colado algún error más o menos grave, como le puede suceder al matemático más formalista del mundo, pero, hasta donde yo he alcanzado, cada afirmación de mi libro está respaldada por una argumentación que —a mi juicio— la muestra como indudablemente cierta. Si me cuestionas cualquier afirmación del libro te podré argumentar por qué me parece que es correcta, pero para ello usaré los argumentos que me parezca que son concluyentes en ese caso en concreto, sin que sepa decirte una lista de principios posibles aceptables.
3. Se pretende usar números naturales, principio de inducción, conjuntos, y otros conceptos matemáticos ya conocidos y previamente estipulados, para dar fundamento a cuestiones o teoremas metamatemáticos, los cuales a su vez se pretende que sirvan para construir LUEGO la matemática formal, que es sólo a partir de entonces que tiene sentido hablar de números naturales, conjuntos y otras cuestiones matemáticas. Esta es una objeción de circularidad en la metodología de trabajo.
Discrepo en lo que te he marcado en negrita. No hay circularidad. No necesitas la matemática formal para hablar de números naturales,
algunos conjuntos y
algunas otras cuestiones matemáticas. Cuando construyes la matemática formal estás construyendo unos objetos que más o menos se parecen a estos conceptos intuitivos hasta el punto de que puedes considerar que son lo mismo sin gran peligro (aunque una teoría formal admita modelos en los que los números naturales sean más de los "de verdad" o conjuntos infinitos que cumplan la definición de conjunto finito y cosas así).
Eso de que sólo es posible hablar de números naturales en el contexto de la matemática formal es un caso particular del gran prejuicio que le señalaba a Masacroso.
Considero importante que el autor de un libro de Lógica
en el que se desarrollen los resultados de fundamentos,
teoría de modelos, etc.,
preste atención a la cuestión expositiva, teniendo en cuenta que lo que va a desarrollar no utiliza metodologías o supuestos que son comunes a las demás ramas de la Matemática,
y poner sobre aviso al lector de que hay dificultades, y que se debe adoptar otro punto de vista menos "mecánico" que el ciclo axioma-demostración-teorema.
Insisto en que no soy el abogado de los autores de los libros de lógica. Sí. Indudablemente entender la lógica formal requiere cambiar ciertos "vicios de pensamiento" que tienen muchos matemáticos educados en un formalismo más o menos radical. Sospecho que sería mucho más fácil enseñar lógica bien entendida a alguien que no sepa nada de matemáticas que a un matemático profesional, que ya tiene cierta deformación profesional que, para este fin, resulta contraproducente.
Yo he procurado en mi libro aclarar todas estas cuestiones, pero desde el momento en que tú pides unas reglas de juego y no es eso lo que te puedo dar, eso ya te hace en gran medida "impermeable" a todas las explicaciones que he tratado de dar.
En cuanto a otros autores, es posible que muchos piensen que esas cosas sólo pueden explicarse razonablemente abordando dudas concretas con personas concretas que se están peleando para entender resultados concretos, y que eso se presta mal a explicarlo en un libro.
El hecho de que Carlos haya admitido problemas en la exposición
del libro de Tourlakis que cita Masacroso, ya muestra evidencia de que no es sólo una cuestión de creencias previas,
sino que posiblemente uno se mete a leer algo nuevo para uno mismo,
sobre Lógica, escrito por un experto en Lógica,
y uno se encuentra conque el discurso empleado tiene lagunas, no cierra,
no es claro, y hasta tiene fallas, pero a lo mejor uno solo alcanza a olfatearlas sin llegar a entender en qué momento le han metido el engaño.
Me ha causado muy mala impresión el libro ese. Querría pensar que la mayoría de los libros pecan a lo sumo de dar pocos detalles, y no de decir cosas que chirrían. Decía antes que no sabría decir hasta qué punto abordaban estos problemas los libros de lógica que he leído, pero creo que si me hubiera topado con uno así me habría chirriado y lo recordaría.
El problema es que, aún los expertos en Lógica,
cuando se ven en la necesidad de explicar ciertas cosas,
tienen que hacerlo sin un marco formal que los respalde,
y entonces ahí estamos apostando a tener suerte en que el autor sea bueno explicando, o incluso que él mismo no esté confundido en algo.
No creo justo culpar de ello a la presencia o la ausencia de un marco formal. Uno puede encontrar libros buenos y malos de lógica igual que de física o de análisis funcional.
En cuanto a la objeción tipo "2", hay varias cosas para decir.
El hecho de que uno esté exigiendo reglas claras,
no es equivalente a que uno esté exigiendo una axiomatización de la metamatemática.
Por eso no puedo aceptar varias críticas hechas hacia mí o Masacroso.
Creo que he tratado de argumentar por qué está fuera de lugar tu petición de reglas claras sin equipararlo a una petición de una axiomatización. El razonamiento informal no requiere "reglas de juego" claras u oscuras, sino que requiere razonar: hay argumentos convincentes o no convincentes. Yo en mi libro he reunido argumentos que me convencen. Cualquiera puede leerlos y decidir si le convencen o no. Y si a uno no le convence un razonamiento en concreto, puede plantear sus objeciones, pero decir "no hay reglas de juego explícitas" no es una objeción a ningún argumento en particular.
El problema acá es que pareciera que ciertos autores se autorizan a sí mismos a usar lo que crea conveniente como fundamento, y a veces uno encima tiene que adivinar cuál es ese fundamento.
Yo no lo diría así: No creo que haya nada que adivinar. Yo no he escrito mi libro como una adivinanza, a ver quién adivina cuál es el fundamento oculto. Yo he procurado dar a cada enunciado una justificación objetiva y convincente. Si me preguntas "cuál es el fundamento" de mi libro, no te lo diré, sencillamente porque no sabría qué decirte. Puedes hacerme preguntas concretas, como si acepto el tercio excluso (cosa que un intuicionista podría objetar) y te diré que sí, que si alguien no acepta el tercio excluso mejor que no lea mi libro. Pero no te sé hacer una lista de "mis reglas de juego", porque no creo que puedan enunciarse en general.
Como trataba de explicar en mis intervenciones anteriores, toda generalización tiende a incluir más o menos casos particulares de los que uno puede estar dispuesto a aceptar como justificables. Me recuerda a cuando un alumno desorientado pregunta
¿pero esto es siempre así? y la única respuesta posible es:
Define "siempre". A veces uno lee algún texto de estos temas, hasta que entiende que se está usando ZFC como marco teórico, sin mucho aviso previo.
Pues sí, no estaría de más que un autor aclarara si está trabajando en ZFC o metamatemáticamente.
Reconozco que tendría que citar autores concretos,
pero no los recuerdo, pues suelo leer cosas en Internet y mandarlas al diablo.
Y el autor que tengo más fresco es Kunen, y ese sí que intenta ser claro en la metodología de trabajo en la parte metamatemática.
Entre otras cosas, parece ser que uno puede usar el "bagaje intuitivo matemático" como metateoría, lo cual no tiene límites claros, pero se acepta esta limitación, y de paso hay menos "poder de fuego" que si se usaran hechos de ZFC.
Claro, pero con eso Kunen sólo está pasando de puntillas sobre el asunto, porque tampoco está interesado en dedicarle muchas páginas. Ciertamente es un comentario vago, pero la vaguedad se debe únicamente a la brevedad. Si le tiraras de la lengua, probablemente te diría lo mismo que te estoy diciendo yo: uso en cada momento lo que me parece razonable usar para estar seguro de que sé (o sabemos) de qué estoy (estamos) hablando y que lo que digo es verdad.
Cuando se trabaja así, no es siempre claro por parte de un autor a medida que uno lee un texto de Lógica que ha tomado eso como forma de trabajo.
Pues sí, no estaría de más aclararlo.
Y mi sospecha es que a lo mejor hay autores de libros de fundamentos y teoría de modelos que ni siquiera entienden bien eso, o que hasta incluso ignoran ese tipo de metateoría.
Pero es solo una sospecha... 
Si incluyes entre los autores a los que tienen un perfil de formación que yo me sé, entonces los hay a raudales. Entre los más serios, no tenía yo esa percepción, pero podría ser. También hay que tener en cuenta que, hoy en día, cualquiera escribe un libro. Las editoriales andan locas buscando autores con los que hacer negocios. Una vez me llegó un e-mail de Springer (un e-mail masivo) en el que me ofrecían un cursillo gratuito sobre cómo hacer un libro de tal tema para que luego hiciera uno y lo publicara en su editorial.
La cuestión es que, si no se va a partir de Axiomas,
entonces desde dónde se va a partir.
Tiene que haber un punto claro de partida,
que sea claro en el sentido de objetable.
Si la solución pasa porque el lector se convenza a sí mismo,
pues eso no es científico.
El punto de partida son todas las afirmaciones que la intuición (en un sentido de la palabra que dista mucho del sentido despectivo en que la entienden los formalistas radicales) nos permite reconocer como verdaderas. Y ya sé que me vas a decir que qué pasa si tu intuición no coincide con la mía, y yo te digo que me señales una afirmación que yo de por obvia en mi libro y a ti te parezca cuestionable, y entonces veremos qué pasa. Pero no se puede teorizar en general, sólo analizar casos concretos. Y eso no tiene nada de acientífico, salvo que introduzcas una definición de "científico" que excluya eso por definición.
¿Por qué si te digo que A es claramente cierto, y B es claramente cierto y C es claramente cierto me dices que eso no es científico, pero si te digo "voy a suponer X y observamos que X implica A, B, C" eso te parece científico? ¿Por qué tengo que encontrar una X —que no sé encontrar— para que me aceptes A, B, C, si lo único que yo sé es que A, B, C son claramente ciertos? Si me fuerzas a encontrar un principio X que implique A, B, C, me encontraré con la duda de si X no permitiría justificar un hecho D (que no alcance yo a imaginar) y que no me parezca sostenible. Yo puedo poner la mano en el fuego por A, B, C, pero no por un principio general X que implique A, B, C, salvo que me admitas como X el principio "A y B y C", claro.
Y están quienes usan ZFC como metateoría, con o sin aviso previo.
Eso significa que se asume la existencia de un universo de discurso que satisface, como mínimo, todos los axiomas de ZFC.
Aún si esto se asume como mera hipótesis, lo cual sería válido como forma de trabajo,
surge la cuestión de que no se conocen modelos concretos de ZFC
(los que se conocen requieren que previamente se asume ZFC como válida),
y que la única manera de trabajar con un universo ZFCiano (si me disculpan el neologismo) es a través de los axiomas de ZFC.
Entonces, ¿por qué criticarlo a Masacroso por querer usar Axiomas y no criticar al autor de un libro de Lógica que usa los Axiomas de ZFC como metateoría?
Pues para hacer tal cosa, se requeriría, ahí sí, una meta-metateoría previa para al menos poder siquiera expresar los enunciados de ZFC.
Aquí estamos mezclando dos cosas completamente distintas. Estudiar la lógica formalizada en ZFC, es decir, usando ZFC como metateoría es simplemente convertir la lógica en una rama más de la matemática. Un matemático que estudia la lógica formalizada en ZFC hace exactamente lo mismo que un analista, o un topólogo, o un algebrista.
Naturalmente, para trabajar en ZFC necesitamos una lógica matemática informal que no puede estudiarse dentro de ZFC sin caer en un círculo vicioso. Bien. Así tenemos
1) La lógica matemática informal necesaria para definir ZFC y justificar que cumple requisitos razonables para tomarlo como teoría matemática básica (y aquí entiendo que ZFC no son sólo los axiomas de ZFC, sino la lógica matemática que define qué es una consecuencia lógica de dichos axiomas).
2) La lógica matemática formal que puede desarrollarse en ZFC como cualquier otra teoría matemática.
El problema es si uno trata de fundamentar la matemática usando 2). Eso sería un círculo vicioso. Pero hacer 2) cuando 1) ya está hecho no es ningún problema.
En cuanto al punto "3", entiendo a Masacroso,
porque cuando intenté meterme en este mundillo por primera vez
me encontré con la misma sensación de circularidad.
Y no es porque uno sea "fan" de los sistemas axiomáticos,
sino todo lo contrario.
Justamente, si vamos a fundamentar a la Matemática a partir de la Lógica,
lo cual lleva largas etapas de construcción y deducción previa,
no podemos usar herramientas Matemáticas que ya existan previamente.
No sólo no se pueden usar axiomas, sino tampoco números, ni inducción, ni conjuntos, ni espacios vectoriales, ni topologías, ni álgebras, ni nada.
Eso es lo que me pasó a mí en su momento,
y creo que les seguirá pasando a varios que intenten realizar el mismo camino.
Es decir, ¿por qué está bien usar alegremente algo que aún no has construido?
¿No es eso un razonamiento circular?
Y si no es circular, ¿por qué?
Y no me mientas con la explicación, porque se lastima mi corazoncito. :'(
Pues eso es lo que he tratado de explicarle antes a Masacroso. El problema es que hablas de "la matemática" como si fuera una única cosa indivisible. No hay una matemática, sino muchas teorías matemáticas. Algunas tratan con conceptos que no tienen un significado intuitivo, como \( \mathbb R \), sin ir más lejos, o \( \mathcal P\mathbb N \), mientras que otras tratan con conceptos con un significado intuitivo preciso, como un grafo finito, o un grupo finito, o los números naturales, enteros o racionales, etc.
La gran leyenda urbana que tanto perjudica a quienes tratan de entender la fundamentación de la matemática es que nada de las matemáticas es riguroso si no se fijan unas reglas de juego. Tú le puedes explicar a un niño de ocho años lo que es un grafo y demostrarle con todo rigor teoremas sobre grafos sin necesidad de ninguna axiomática ni nada parecido.
Cualquier niño puede entender el concepto de "árbol" como grafo, y entender que el número de vértices de un árbol es el de aristas más 1, y para ello no necesita conocer ni los axiomas de Peano, ni la inducción matemática ni nada de nada. Sólo necesita entender lo que es un grafo, un árbol y ver que un árbol siempre tendrá nodos terminales y que cada vez que quitas un nodo terminal con su rama estás quitando un vértice y una arista, y que puedes seguir hasta que sólo te quede un vértice y ninguna arista. Y puliendo algunos detalles que no doy aquí por no extenderme en vano, este argumento se convierte en un argumento incuestionable que convencerá al niño de que antes se encontrará con un unicornio rosa que con un árbol con 5 vértices y 10 aristas.
Hay una amplia porción de matemáticas que puede exponerse con todo rigor y objetividad sin necesidad de lenguajes formales ni axiomas ni reglas de inferencia. Simplemente, hablando en buen castellano de unos objetos claramente definidos, como grafos, o tablas de grupos finitos, o números naturales, o números módulo 17, sin el menor riesgo de caer en ninguna contradicción o en cualquier error que no pueda ser identificado y corregido en cuanto alguien lo señale sin discusión alguna sobre que, en efecto, era un error.
Y usando (una pequeña parte de) esa matemática informal, que es completamente rigurosa aunque no tenga unas reglas de juego predefinidas, porque todo argumento es aceptable con tal de que esté claro a qué objetos hace referencia y que todo lo que afirma es cierto, es posible construir lenguajes formales —igual que podemos construir grupos o grafos finitos— y definir axiomas, y reglas de inferencia, etc. hasta construir y estudiar ZFC, y muchas otras teorías independientes de ZFC, como una geometría axiomática, o una teoría de cuerpos axiomática, etc.
Por otra parte, a uno le queda la sensación de que esos hechos "avalados por la intuición matemática" son, en realidad,
cosas que un autor cree que son válidas porque su intuición se lo dice,
pero que en el fondo, lo más honesto es reconocer que lo que uno asume como cierto de entrada no es otra cosa que un Axioma.
Depende. Si por "axioma" estás pensando en algo que supongo sin plantearme si es cierto o falso, entonces discrepo. Si pudiéramos aceptar cualquier cosa que uno quisiera dar por "intuitivamente cierta" con la alegría con que se puede aceptar un axioma, entonces bastaría enunciar todo lo que te haga ilusión decir y tomarlo como "intuitivamente cierto", pero con eso no llegamos a nada de provecho.
Si yo miro los dedos de mis manos concluyo que \( 5+5=10 \), y puedo decir honestamente que eso es intuitivamente incuestionable, pero no sería nada honesto por mi parte que dijera que es intuitivamente obvio que \( 5+5=11 \). Si entiendes que cualquier cosa se puede tomar como axioma con tal de que lo declares así, entonces \( 5+5=10 \) es una afirmación intuitivamente obvia que no necesita ninguna demostración, pero no es un axioma, en el sentido de que no puedo decir honestamente que \( 5+5=11 \).
Si entiendes que está fuera de lugar plantearse si un axioma es verdadero o falso, entonces no estamos hablando de lo mismo, porque una afirmación intuitivamente verdadera es verdadera, y no puedes tomar como afirmación intuitivamente verdadera una afirmación falsa o ni siquiera una afirmación sin sentido intuitivo, como \( |\mathbb R|=\aleph_1 \).
O sea que el problema no es que uno sea fan de las teorías axiomáticas,
sino que pareciera que hay personas que dicen no usar axiomas como trasfondo metamatemático, cuando en realidad sí lo están haciendo,
ya que asumir un hecho sin demostrarlo es, pues, un Axioma.
Depende del sentido que le quieras dar a la palabra axioma. Si lo entiendes como "afirmación no demostrada", sí. Entonces puedes considerar como axiomas de mi libro los centenares de hechos que en él se presentan como obvios e incuestionables, pero si entiendes por "axioma" punto de partida arbitrario en un argumento, entonces nada en mi libro es un axioma (fuera de los axiomas formales que en él se definen), porque nada en él es arbitrario.
Uno es libre de elegir los axiomas que prefiera cuando se monta una teoría, pero ni yo ni nadie es libre de tomar como axioma que al yuxtaponer dos cadenas de signos, el resultado es una cadena de signos cuya longitud es el producto de las cadenas yuxtapuestas. Lo correcto es la suma y no el producto. Es evidente que es la suma y no hace falta demostrarlo a partir de unos axiomas de Peano que aún no hemos definido, y es evidente que con el producto la afirmación es falsa.
Yo, a estas alturas, ya me conformo conque me digan cuál es el marco de trabajo y punto.
¿Que vas a usar la intuición? Pues bien, por lo menos ahora entiendo las reglas del juego, aunque esas reglas no sean dadas por un sistema axiomático.
Pues si con esto te basta, ya hemos acabado. Para fundamentar la matemática es necesario definir el concepto de sistema formal usando la intuición. Esa intuición que nos permite apostarnos el cuello a que si yuxtaponemos dos cadenas de signos, la longitud del resultado será la suma y no el producto de las longitudes (salvo que ambos números coincidan, claro).
A veces es difícil explicar con palabras el por qué rezonga uno.
A lo mejor no hay un motivo, sino varios, entremezclados.
Espero haber podido poner una luz de discernimiento.
Después de todo, si habemos varios ya quejándonos, como para formar un gremio, es síntoma de que algo más complejo está ocurriendo.
Claro que algo ocurre. Ocurre que hay muchos matemáticos que, por deformación profesional, se han convencido de que es imposible vivir sin axiomas y reglas del juego como un urbanícola puede pensar que un grupo de seres humanos en la selva está condenado a morir de hambre, por falta de supermercados, de bancos, de teléfonos móviles y de sucursales de Burger King. Vale que en la selva no podrás ir al cine, pero morirte de hambre...
Igual ahora voy a traicionar un poco a mi gremio,
pues hay cosas que no comparto.
Si bien estoy de acuerdo en que ciertas reglas del juego deben quedar claras de entrada,
no estoy de acuerdo en que haya que poner un sistema axiomático para que cumpla dicho rol en la Metamatemática.
El motivo es sencillo: no puedo saber de antemano si las reglas que he elegido para mis Axiomas son contradictorias o no.
No, ése no es el motivo importante. El miedo a la contradicción es otro falso fantasma que achaca a muchos matemáticos por deformación profesional. La contradicción sólo puede aparecer cuando no se puede asegurar que sabemos de qué hablamos cuando hablamos. No es evidente en absoluto que tengan que existir unos objetos a los que podamos llamar conjuntos de modo que se cumplan los axiomas de ZFC, pero es imposible que te pongas a hablar de grupos finitos y sólo de grupos finitos y puedas llegar honestamente a la conclusión de que tiene que haber dos grupos de orden \( 3 \), cuando es fácil demostrar que sólo hay uno.
Precisamente por eso si uno se limita a trabajar con objetos claramente definidos, no hay más motivos para recelar de contradicciones que para sospechar que mañana dejará de funcionar la ley de la gravedad y todos saldremos flotando por el espacio. Alguien que se niega a razonar intuitivamente por miedo a las contradicciones es como alguien que se niega a salir de casa por si le cae un ladrillo en la cabeza y se muere.
Si alguien intenta construir un rascacielos y se le derrumba, ¿es eso motivo para pensar que una humilde casa de un piso corra el riesgo de derrumbarse? Los motivos que pueden hacer que un error de cálculo lleve al colapso de un rascacielos no son indicios razonables para recelar de que una casa construida según unos cálculos con los que se han construido millones de casas sin problemas vaya a derrumbarse.
Igualmente, la teoría de conjuntos es un rascacielos que puede derrumbarse si sus axiomas no están bien elegidos, pero eso no afecta para nada a cualquier teoría matemática que hable de objetos que podemos ver y tocar. ¿Cómo va a ser contradictorio lo que digas sobre un grupo de seis elementos? ¡Si sólo hay dos posibles y puedes ver cómo son y qué les pasa! Si pudieras demostrar que un grupo con seis elementos tiene que ser abeliano y no serlo, tendrías que poder ver una tabla de un grupo en la que hubiera elementos que no conmutan y en la que todos conmutan, pero eso es inconcebible. Una contradicción en ZFC no es inconcebible.
Para determinar la no-contradicción de nuestras reglas de juego así dispuestas,
habría que partir de algo que ya esté previamente establecido, y que no sean axiomas.
La cosa no termina de "empezar".
Para determinar la no contradicción sólo necesitas estar seguro de que hablas de cosas tangibles, entendiendo que los números naturales son tangibles, aunque no sean materiales, pero los números reales no lo son.
Pero entonces hay que asumir ciertos hechos como verdaderos a priori, sin justificación.
No estoy de acuerdo en considerar que aceptar que si concatenas dos cadenas los signos se suman sus longitudes es asumir que eso es verdadero a priori, sin justificación, y, aunque puedas dar algo como justificación que resista a la crítica de que te basas en tales o cuales axiomas más generales que lo que quieres demostrar, lo cierto es que no necesitas ninguna demostración,y eso no es asumir nada como verdadero a priori, eso es constatar que no puede ser de otra manera.
Incluso hay que aceptar el razonamiento lógico como forma válida de trabajo, sin antes tener una lógica formalmente definida.
Efectivamente, la lógica formal está diseñada para que sea correcta, es decir, para que describa el razonamiento lógico "de verdad", pero la noción de razonamiento lógico correcto es anterior a la lógica formal. Suponer lo contrario es incoherente.
Que la solución necesariamente sea el camino trazado por Gödel y sus sucesores no es algo que me quede del todo claro.
Lo más triste es que no tengo la lucidez de inventar algo diferente a lo de Gödel.
Pero que mi inteligencia sea limitada e inferior a la de Gödel,
no me quita al derecho a quejarme de que las cosas no necesariamente tienen que ser como históricamente han sido.
Después de todo, tampoco se me hubiera ocurrido nunca hacer lo que Gödel hizo.
Perfectamente puede haber otra genialidad distinta que tampoco se me va a ocurrir nunca.
Pero la cuestión es que no falta nada. Lo que sobra es tu miedo a que haya contradicciones donde no hay el menor indicio racional de que podría haberlas y tu exigencia arbitraria de que se expliciten unas reglas de juego a priori. Eso es necesario para razonar formalmente con objetos cuya existencia no tenemos garantizada, pero no para hablar de objetos de los que tenemos un conocimiento intuitivo suficiente como para saber que si fueran contradictorios no podríamos ver lo que estamos viendo, tendríamos que ver cosas que es imposible ver, como dos cadenas de cinco elementos que al yuxtaponerlas formaran una con 11, lo cual es impensable.
