En cuanto a las respuestas de geometracat:
Me meto donde no me llaman
* Me has dicho que puedo usar la base metamatemática que yo quiera... mmmm.
¿Y entonces, supongo lo que se me antoja y no le aviso a nadie lo que estoy suponiendo que es verdad?
Es que no se trata de qué supones o qué dejas de suponer. Tú dices algo y, mientras yo —al leerte— esté de acuerdo en que lo que dices es razonable, seguiré leyendo, y si considero que estás dando por hecho cosas falsas o cuestionables, dejaré de leer. No se trata de si supones que es verdad o no, sino de si es asumible lo que dices.
No sé si me explico. Tú puedes trabajar en una teoría axiomática sin preocuparte de si los axiomas son o no verdaderos en algún sentido. Basta con que lo que se razone sea consecuencia lógica de los axiomas. Pero la metamatemática no está pensada para que uno la considere como razonamientos a partir de ciertos supuestos sin que importe si esos supuestos son verdaderos o no. La metamatemática (no formalizada en ZFC o cualquier otra teoría) sólo tiene razón de ser en la medida en que el lector (no el que escribe) pueda aceptar como verdadero todo lo que se dice, bien sea sin necesidad de justificación previa (por ser intuitivamente aceptable), bien porque se razona a partir de hechos que no necesitan justificación previa.
Lo mismo pasa al revés: el autor de un texto de lógica puede suponer lo que él quiera, pero nunca me avisa lo que está suponiendo.
Es que es muy difícil —si no imposible— explicitar con fórmulas generales los hechos particulares que uno va a dar por intuitivamente verdaderos. El autor te está avisando de lo que supone cada vez que hace una afirmación no deducida de otras, o simplemente cada vez que dice "es claro que..."
En realidad sería fácil, pero muy laborioso, hacer lo que pides. Sólo habría que hacer una lista del tipo:
En la página 3 línea 4 supongo que...
En la página 3 línea 8 supongo que...
Y así con decenas o centenas de suposiciones, pero si hiciéramos esa lista, te serviría de muy poco, porque probablemente los supuestos no se podrían entender descontextualizados y tendrías que ir a la página tal línea tal para entender realmente qué se está suponiendo.
Tampoco me queda muy claro el concepto de "matemáticamente válido".
Considero que hay muchas lagunas en este terreno,
y que el autor debe ser específico en lo que está haciendo, y lo que está asumiendo.
Es que no es fácil, si no es imposible, poner vallas al campo. Hay conceptos intuitivamente bien definidos y otros que no lo están, pero no creo que sea posible dar una definición de "buena definición". Intentarlo lleva a paradojas del estilo del menor número definible con menos de tantas palabras. Eso no quita para que puedas reconocer un concepto bien definido cuando te lo encuentras, entendiendo que si hay dudas sobre si realmente está bien definido es que no lo está.
Así que hay, por lo menos, dos clases de "trasfondos" metamatemáticos (por llamarlo de alguna manera):
aquellos que tienen al menos justificación intuitiva (más allá de que podría ocurrir que en algunos casos haya intuiciones que no sean aceptables por igual para todo el mundo),
y aquellos que son meros decretos del rey, como las teorías de conjuntos.
Y dado que no hay absoluto consenso en todo lo que es intuitivamente aceptable,
considero que tiene que haber un aviso previo, un reconocimiento explícito de los hechos que se están usando.
Aquí me he perdido un poco en tu línea argumental. Empezabas señalando que no es posible probar la consistencia de ZFC, por lo que pensaba que querías acabar cuestionando que sea aceptable como marco para estudiar la lógica matemática, pero luego has acabado hablando de nuevo de la metamatemática intuitiva y pidiendo principios explícitos.
En cuanto a usar ZFC como marco para estudiar la lógica, eso hay que entenderlo igual que se usa para estudiar cualquier rama de la matemática. Se estudia la lógica en ZFC igual que se puede estudiar la topología conjuntista. Desde luego, eso no sirve como fundamentación de la matemática, sería un círculo vicioso, pero tampoco se pretende. La fundamentación de la matemática se apoya en una metamatemática intuitiva no formalizada y, una vez que un análisis de ZFC nos permite concluir que es aceptable como marco para formalizar la matemática (sin perjuicio de que pueda haber alternativas que finalmente resulten preferibles o incluso que pueda ser contradictoria y haya que cambiarla), entonces se hace matemática en ZFC, lo que incluye el álgebra, la topología, la geometría, la lógica, etc.
En cuanto a los principios explícitos que pides, insisto en que (salvo que un autor sea particularmente oscuro) están explícitos en cada uso que se hace de ellos, sólo que no son diez o doce principios, ni veinte ni treinta, sino centenares de ellos, pero que si los intentas generalizar los pervertirás probablemente. Por ejemplo, yo puedo decir "está claro que este conjunto en concreto está bien definido", pero ello no es consecuencia de ningún principio general que garantiza que tales conjuntos están bien definidos, sino que el principio explícito en el que me estoy basando es en que este conjunto en concreto del que estoy hablando está bien definido, sin afirmar nada sobre otros conjuntos. Cuando necesite apelar a que otro conjunto está bien definido ya me ocuparé de él, pero no puedo dar un principio general que diga "estará bien definido todo conjunto que cumpla..."
Esto no quita para que la mayor parte de la metamatemática necesaria para fundamentar la matemática puede formalizarse en la aritmética de Peano, o en teorías más fuertes o más débiles, como fragmentos de la aritmética de Peano de segundo orden (más fuerte) o la aritmética recursiva primitiva (mucho más débil), que pueden describirse con precisión, pero necesitas igualmente una metamatemática intuitiva para describir esas teorías.
Debe ser por mi propia ignorancia, pero me parece extraño, sospechoso,
que se use ZFC para estudiar ZF.
Después de todo, ZF es una teoría que admite modelos que ZFC no admite,
¿Preferirías usar ZF para estudiar ZF? Pero a partir de un modelo de ZF se puede construir uno de ZFC (y esto se demuestra en ZF, el más simple es el formado por los conjuntos constructibles), luego si estás dispuesto a aceptar lo que se diga en ZF sobre ZF, tienes que aceptar lo que se diga en ZFC sobre ZF y, trivialmente todo lo que se diga en ZF sobre ZFC se puede decir también en ZFC. Tenemos una equivalencia.
ya que en ZF puede haber modelos donde no vale el Axioma de Elección.
Entonces, ¿cómo uno está seguro de que el poder expresivo de ZFC es suficiente para entender todo lo que puede pasar con los modelos de ZF?
"Todo lo que puede pasar" es una frase que pareces usar sin recelo alguno y que, en cambio, yo recelaría de ella. No sabría dar un sentido metamatemático a "todo lo que puede pasar". Y no lo digo porque "lo que puede pasar" se pueda considerar ambiguo. Ahí entiendo lo que quieres decir, no me estoy haciendo el tonto. Lo que me parece sospechoso es el "todo". "Todo" es una palabra muy dudosa desde un punto de vista metamatemático, y precisamente por eso es muy difícil —si no imposible— dar principios generales cuando la palabra "todo" está bajo sospecha.
Pues si bien me parece plausible que haya modelos de ZF sin axioma de elección, expresables con ZFC como metateoría, no me queda claro que todos los modelos posibles de ZF puedan expresarse justamente con ZFC.
Recelo igualmente de este "todos los modelos". No sé lo que son "todos los modelos" de ZF, y con ello quiero decir que nunca se me ocurriría hablar de "todos los modelos de ZF" si pretendiera decir algo metamatemáticamente aceptable. Pero, tratando de ahondar en lo que dices, pese a esta objeción de salida:
¿A qué te refieres con "haya" en "que haya modelos de ZF"? Si ese "haya" hay que entenderlo en el sentido de que se pueda afirmar su existencia en un sentido metamatemáticamente aceptable, es decir, que de algún modo hayamos definido un conjunto (que podamos considerar bien definido) y en él hayamos definido (bien) unas relaciones que nos permitan demostrar que es un modelo de ZF (para lo cual habría que suponer, como mínimo, que ZF es consistente), entonces esa construcción tiene que ser formalizable en ZF, luego en particular en ZFC, porque ZF es mucho más potente que cualquier forma de razonamiento intuitivo.
Y si el "haya" hay que entenderlo en otro sentido... ¿en cuál? ¿Que en cierta teoría axiomática se demuestra la existencia de un cierto modelo de ZF? Pues, en efecto, no hay garantías de que esa construcción pueda hacerse en ZFC. Pero mucho menos se podrá hacer en ZF, entonces. Tendrás teorías diferentes en las que se podrán construir modelos cualitativamente diferentes de ZF. Por ejemplo, una tal teoría puede ser ZFC más la existencia de ciertos cardinales grandes. Necesitas eso para construir un modelo de ZF que cumpla el axioma de determinación, por ejemplo.
Bueno, yo entiendo que ZFC se use porque es la costumbre.
Pero para mí, en tal caso, hay un sesgo en la metodología.
Es una especie de falacia histórica: se usa porque siempre ha sido así.
Sí, pero eso no es necesariamente un sesgo. Es como decir que contar en base 10 porque tenemos 10 dedos es un sesgo en las matemáticas, pero no, porque se puede hacer lo mismo contando en base 10 que en base 13.
Aquí la situación sería ligeramente distinta. Si cambias ZFC, por ejemplo, por teorías más fuertes, puedes obtener nuevos modelos de ZF que no pueden obtenerse en ZFC. Si alguien encontrara una teoría muy diferente de ZFC en la que se pudieran encontrar modelos de ZF sustancialmente distintos de los que pueden construirse en ZFC o sus extensiones, pues sería una teoría matemática más, con más o menos interés según los criterios difícilmente precisables que distinguen qué teorías matemáticas son más o menos interesantes.
No me queda claro que estemos entendiendo (como humanidad)
todas las vicisitudes de la teoría de conjuntos, al actuar de esa manera.
Yo diría que la razón principal por la que ZFC es "popular" es porque uno puede trabajar en ZFC sin saber nada de ZFC, mientras que otras teorías requieren tener en cuenta consideraciones lógicas en cada paso para estar seguros que que lo que decimos queda realmente "dentro de la teoría", vamos, que es difícil manejar otras teorías sin ser plenamente consciente de su lógica subyacente en cada paso, y no como en ZFC donde te puedes olvidar de su lógica cuando trabajas en álgebra, o en análisis, etc. y no te acercas a "la última frontera" considerando de forma esencial clases propias que es fundamental distinguir de los conjuntos, etc.
La Lógica repercute intensivamente en toda la Matemática,
por el motivo de que lo que no es lógico, no está admitido.
Por lo tanto, la Lógica, como disciplina, requiere más rigor que la misma Matemática.
Y lo que yo digo es que este rigor tiene que reflejarse en la manera en que se exponen los textos del tema.
Pero yo creo que confundes "rigor" con "trabajar rigurosamente en ZFC". Trabajar rigurosamente en ZFC es seguir unas normas claras: una definición es correcta si cumple tales condiciones, una afirmación es aceptable si es uno de estos axiomas o se deduce de ellos, o de teoremas previos, etc.
Pero no puedes pretender que el manual del rigor matemático (es decir, la lógica matemática) se redacte siguiendo las normas de rigor que ella misma tiene por misión establecer. El rigor de ZFC está pensado para trabajar sin sorpresas formalmente, es decir, prescindiendo completamente del significado posible de los términos empleados, pero para fundamentar ZFC hace falta todo lo contrario: trabajar considerando en cada paso el significado de lo que se está diciendo y juzgando en cada momento que lo que se dice es verdad, no si se sigue de tales o cuales principios con tales reglas, sino si es verdad o no.
Y mi impresión es que si esto no te satisface es porque
a priori no estás dispuesto a que te satisfaga nada que no sea un calco del rigor en ZFC, cuando no puedes pretender que "rigor" sea lo mismo en una teoría formal (basada en evitar toda referencia a los presuntos objetos de los que hablamos o a la posible verdad de las afirmaciones) que en una teoría intuitiva (basada en decir cosas verdaderas sobre objetos bien conocidos).
Decir que "2+2=4" sin más explicación que la necesaria para entender qué es 2, qué es 4 y qué es sumar, es totalmente riguroso, sin necesidad de hacer referencia a ningún principio del cual se pudiera deducir formalmente este hecho. Y decir que si ZFC fuera contradictorio podríamos considerar el menor número de Gödel de una prueba de \( 2+2=5 \) en ZFC es totalmente riguroso sin necesidad de apelar a ningún principio general de existencia de mínimos que me obligaría a precisar (y no sé) qué subconjuntos del conjunto de los números naturales doy por "bien definidos" y "justificadamente no vacíos" y, por consiguiente, poseedores de mínimo.
Acá hay 3 personas distintas con las mismas preocupaciones:
Eparoh, masacroso y yo.
Personas diferentes que, al intentar entender el embrollo de la lógica,
se han encontrado con el mismo problema:
* Da toda la sensación de que se están usando cosas antes de definirlas, cuando toda la vida nos han inculcado que eso es circular, vicioso, incorrecto.
Pues a eso me refiero: el "toda la vida nos han inculcado que eso es circular, vicioso, incorrecto" debería completarse hasta "toda la vida nos han inculcado que eso es circular, vicioso, incorrecto en ZFC" (o en cualquier teoría axiomática).
El "problema" es, a mi juicio, que no se distingue entre lo que es incorrecto o carente de rigor trabajando en una teoría axiomática en la que son necesarias ciertas normas de conducta porque no sabemos realmente de qué estamos hablando —o no queremos saberlo— y lo que es correcto cuando sí que sabemos de qué estamos hablando.
Supongo que el ejemplo típico es que "parece incorrecto hablar de los números naturales antes de definir los axiomas de Peano", pero eso es una mala concepción de la situación. No hay nada de circular o vicioso o incorrecto en hablar sobre números naturales con todo el rigor que nos permite el hecho de que sabemos de qué estamos hablando y terminar definiendo los números naturales en una teoría axiomática. De hecho, los números naturales que uno daría por "rigurosos", los definidos en ZFC o axiomáticamente en una teoría formal como la aritmética de Peano, son los no rigurosos metamatemáticamente, porque uno ve que esas definiciones o axiomas no caracterizan a los números naturales y las cumplen también números "no estándar".
La solución a eso no es dar definiciones antes. No podemos definir unos objetos (los números naturales) de los cuales vamos a demostrar que ninguna definición "rigurosa" habitual los determina realmente. Los números naturales son 0, 1,2, 3, ... y ésa es su "definición" (eso junto con lo necesario para entender cómo se prolonga indefinidamente la sucesión). Y quien crea que eso no es riguroso, se está confundiendo —siempre según mi opinión subjetiva— porque siempre le han inculcado que lo riguroso es lo que no sirve, las definiciones, los axiomas, que no determinan para nada los números naturales.
Y con esto no estoy acusando de fraude a la matemática tradicional, sino que está muy bien como está y no hay que cambiarle nada. Sólo digo que es un hecho que la matemática formal no es categórica, no determina unívocamente un modelo y ni siquiera determina unívocamente los números naturales. Eso está bien así, pero si uno dice que eso es riguroso y que definirlos como 0, 1, 2, 3, ... (a lo cual podemos llamarlo "no definirlos") no lo es, tiene que afrontar que esa "no definición" determina completamente los números naturales, mientras que la "definición rigurosa" no lo hace.
La solución al "problema" no es darle a la metamatemática un "mayor rigor" que no le falta, sino entender que la noción de rigor "de toda la vida", no se aplica a la metamatemática, porque no es una teoría formal.
Entonces, creo yo que hay evidencia de que hay un problema.
Para mí es un problema de exposición.
Sin entrar a valorar el estilo de cada cual, disiento, en el sentido de que me parece que una exposición de tu agrado estaría tratando de ocultar la realidad al lector en lugar de enfrentarle a ella: el rigor formal no tiene cabida en una fundamentación intuitiva de la lógica formal. Lo máximo que podrías hacer —con suerte— es disimular este hecho hasta el punto de que el lector no se diera cuenta de que lo estás "engañando" (involuntariamente, claro), pero si realmente escribieras un libro sobre metamatemática en el que pareciera que "todo es riguroso al estilo de ZFC", estarías ocultando al lector que tiene que desconfiar de los "todos" enunciados con alegría, y cosas similares. Le estarías ocultando que no puede aceptar ninguna afirmación simplemente porque se deduzca de tales o cuales principios, sino que tiene que valorar si al aplicar un cierto principio no estaremos dando por supuesto una versión del tal principio demasiado general como para que su aplicación sea intuitivamente aceptable en un caso particular.
He leído varios libros de Lógica, y muchas veces me cuesta conciliar los puntos de vista de cada autor, o entender qué toman como metateoría, o de qué están hablando, o qué están suponiendo.
Es difícil opinar sobre eso sin conocer los libros, pero pueden pasar varias cosas. 1) que el autor simplemente esté trabajando en ZFC sin decirlo, como cualquier autor típico de cualquier libro de álgebra o de geometría. 2) Que el autor no esté considerando ninguna metateoría específica, más allá de aceptar por verdadero todo lo que claramente es verdadero. Yo me consideraría uno de esos autores: si me preguntas qué metateoría estoy tomando en mis libros, no sabría responderte. 3) Que el autor esté diciendo cosas suficientemente básicas como para que no importen las posturas filosóficas que el lector pueda tener, pues, si son mínimamente razonables, admitirán los hechos en que se basa. 4) cualquier otra posibilidad.
Incluso ví alguno que tomaba la postura de que no importa nada: que el lector asuma como válido lo que se le antoje.
No lo veo diferente a escribir un libro sobre aritmética elemental y que el autor diga, formalícelo usted en la teoría axiomática que más le guste, que lo que digo aquí vale en todas.
Y para mí el problema no es "qué es lo que se le antoja al lector",
sino "de qué diables está hablando el autor".
O sea, qué es lo que se le antojó al autor tomar como válido.
Pues no sé exactamente de qué caso hablas, pero si en un libro de lógica un autor habla de signos, y cadenas de signos, y números naturales, etc., pues está hablando de esas cosas. Y cabe esperar que tome como válido que \( 2+2=4 \), y que al yuxtaponer dos cadenas de signos obtenemos otra cuya longitud es la suma de las longitudes, etc. Lo que es verdad.
Si entra en cuestiones sobre modelos y conjuntos y relaciones, ya habría que precisar algo más, pero no mucho más que entender que un conjunto, o una relación, etc., están bien definidos cuando está claro que lo están.
Si bien hemos debatido muchas veces en el foro sobre estos temas,
de mi parte no estaba haciendo alusión alguna.
Espero no te hayas sentido obligado a participar.
Después de todo, ya conocés de memoria mis dilemas en este tema.
No, no. Me refería a que si hubiera visto esta mañana la pregunta de Eparoh la habría respondido con mucho gusto, pero al verla me la he encontrado ya respondida por geómetracat y no tenía gran cosa que añadir y no quería dar la impresión de que no he querido responderla.
En cuanto a tu respuesta:
Pues si bien lo que digo quizás te "suena" a axiomatizar la metamatemática,
no estoy hablando de axiomatizarla.
La Geometría de Euclides tiene bien claros sus postulados, y no tiene ningún círculo vicioso, sino que Euclides hizo explícitos aquellos hechos
que tomó como puntos de partida para la Geometría.
Con muchos agujeros lógicos, como bien sabes. Si tratas de cubrir esos agujeros sin dejar el menor resquicio, o ben llegas a una geometría axiomática formal en sentido moderno, o bien llegas a una teoría intuitiva en la que hablarás de números naturales, etc. con la misma libertad con la que se habla de ellos en un libro de lógica.
Dado que la Geometría Euclidiana tiene una base intuitiva,
y la metamatemática también,
no entiendo por qué no se puede hacer lo mismo en este contexto.
Lo que exijo no es una axiomatización de la metamatemática,
sino un reconocimiento explícito de los objetos con los que se está trabajando,
y de los hechos que se asumen de ellos como "verdaderos per se",
ya sea porque el autor los considera intuitivos, o indiscutiblemente ciertos,
o porque le conviene asumir que son verdaderos, o lo que fuere.
Porque los hechos que se asumen sobre ellos son muchos hechos particulares que es difícil, si no imposible, expresar como consecuencias de principios generales sin que éstos acaben siendo más generales de lo que es razonable suponer.
Por ejemplo, yo puedo hablar intuitivamente de números naturales, o de la totalidad de los números naturales, pero puedo hablar intuitivamente de modelos de ZFC, pero no creo que pueda hacerlo de la totalidad de los modelos de ZFC, y no puedo darte un principio general del estilo de "tiene sentido hablar de la totalidad de los X si se cumple tal cosa". En cada caso concreto te podré decir que entiendo lo que significa una afirmación sobre la totalidad de los números naturales, pero no sabría atribuir un significado a una afirmación sobre la totalidad de los modelos de ZFC a menos que ésta fuera de tal naturaleza que me convenciera de que, sea el modelo de ZFC que pueda considerar, dicha afirmación tiene que ser cierta. Por ejemplo, puedo decir que todos los modelos de ZFC tendrán un conjunto vacío, pero no sabría dar un sentido a "todos los modelos de ZFC pueden construirse en una extensión adecuada de ZFC", y no digo que no sepa si eso es cierto, sino que no sé lo que eso significa. Si alguien me construyera aceptablemente un modelo de ZFC (suponiendo como mínimo la consistencia de la teoría) y me demostrara que no puede construirse en una extensión de ZFC de forma intuitivamente aceptable, entonces ya entendería la afirmación, porque podría entenderla como una afirmación sobre ese modelo en particular.
Así, una afirmación puede pasar de no tener un sentido asignable a tenerlo desde el momento en que se encuentra un contraejemplo. Un ejemplo puede, no sólo demostrar una afirmación, sino hacer que pase de no tener sentido a tenerlo. Esas cosas no pasan en ZFC.
Tu libro está entre los más claros que he leído, pero no es el único que hay,
y fijate que ya vamos siendo varios los que caemos en la misma telaraña.
Ya, si no digo que no sea algo sutil y complejo. No estoy diciendo "parece mentira que la gente no tenga esto claro". Lo que digo es que el origen del problema no está —a mi juicio— en el problema en sí, sino en el hecho de que mucha gente presupone cómo tendrían que ser las cosas para que le parecieran aceptables cuando en realidad ese "como tendrían que ser" es imposible, y la solución del problema no está en encontrar ese rigor "fuera de lugar", sino en comprender que ese rigor es un prejuicio basado en confundir el rigor "que toda la vida se ha exigido" (para trabajar en ZFC con el rigor que es razonable exigir a una teoría informal (es decir, basada en contenidos y no en razonamientos formales).
Me parece más práctico decir que todas las aseveraciones en cuestión me parecen cuestionables, después de todo tengo una "incomodidad de índole general". 
Pues no lo veo más práctico, porque creo que si descendieras del "todas" a alguna en particular, podríamos discutir si realmente tienes motivos para cuestionar ésa en particular. Si es que sí, ya tienes justificada tu afirmación más sólidamente (con un ejemplo explícito), y si es que no, te tocará buscar otra, y si no encuentras ninguna... pues a lo mejor cambiaría tu forma de ver el asunto.
Pero bueno, creo que ya he explicado el asunto,
es decir, no estoy diciendo que haya que axiomatizar la metateoría.
Por ejemplo, si un autor dice:
"asumo que vamos a trabajar con un conjunto N de números naturales que comprendemos por intuitición directa, y que, entre otras cosas, intuimos como verdadero el Principio del Mïnimo en dicho conjunto N".
Pues eso sería explícito y claro.
Y no sería axiomatizable, pues el significado de la palabra "intuición" no es algo que uno pueda expresar con un sistema de axiomas, que yo sepa.
Pero por lo menos, yo ya estaría entendiendo el grado de cordura/locura del expositor.
Ya, pero te he puesto ejemplos antes de cosas mucho más sutiles que no podría encajar en principios a tu gusto.
De lo contrario, no tengo cómo saber si el autor y yo, como lector, estamos asumiendo las mismas cosas, o estamos hablando de lo mismo.
Claro que lo tienes: sólo tienes que ir leyendo y decidiendo si alguna de las afirmaciones que el autor presenta como obvias te parece cuestionable. Si todas de parecen incuestionables, no hay problema, y si alguna te parece cuestionable, tendrías que aplicar el principio del mínimo y centrarte en la que está más cerca de la primera línea de la primera página y plantear qué dudas razonables tienes de que pueda ser cierta.
