[stympi871]

Holas amigos necesito deducir la fórmula de correlación gradual de Spearman


\( r_s=1-\displaystyle\frac{6\displaystyle\sum_{i=1}^n{d^2_i}}{n(n^2 -1)} \)

Se me ocurre los siguiente

primero los valores ordenadors de X son 1,2,3,...,n
\( \bar{x} \)=n(n+1)/2, \( s_X^2=n(n+1)(2n+1)/6 x 2 -((n+1)/2)^2=(n^2-1)/12 \)

luego hago lo mismo con Y

por otro lado se sabe

\( s^2_d = s^2_x + s^2_y - 2r_s s_x s_y \) hasta ahí llego de ahí no sé qué puedo hacer

[Luis Fuentes]

Hola

 Ten en cuenta que los valores de \( X \) son \( 1,\ldots,n \); los de \( Y \) los mismos pero posiblemente en otro orden.

 Entonces:

\(  \overline{X}=\overline{Y} \)

\(  s_x^2=s_y^2 \)

 Por tanto de aquí:

\( s^2_d = s^2_x + s^2_y - 2r_s s_x s_y \)

 obtienes:

\(  r_s=1-\displaystyle\frac{s^2_d}{2s^2_x} \)   (I)

 Ya has hallado que:

\(  s^2_x=\displaystyle\frac{n^2-1}{12} \)

 Finalmente \( s^2_d \) es la varianza de las diferencias \( D=X-Y \). Su media es cero y por tanto simplemente es:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{}\displaystyle\frac{d_i^2}{n} \)

 Sustituyendo en (I) tienes tu fórmula.

Saludos.