[Jessica]

Buenas noches,

¿Alguien puede echarme una mano con este ejercicio?

Sea \( b \) un número real positivo no nulo.
(a) Pruebe que si \( f:\Bbb R\to \Bbb R \) es una función continua tal que \[ f(0) = 0 \] y \[ f´(x) = 1/(1+be^{f(x)}) \] , entonces \[ f(x) \leq  x/b \] para cada \[ x > 0. \]
(b) Para a un número real positivo, calcule:
\( \displaystyle\int_{0}^{a}\displaystyle\int_{0}^{b}e^{max\{(a^2/b^2)x^2,y^2\}}dxdy \)

Muchas gracias!

[delmar]

Hola

Te ayudo con el a)

Observa que si tienes dos funciones \( g'(t)\wedge h'(t) \) continuas definidas en \( [0,\infty) \) y tal que \( g'(t)\leq{h'(t)}\Rightarrow{\displaystyle\int_{0}^{x}g'(t)dt\leq{\displaystyle\int_{0}^{x}h'(t)dt}} \) y si \( g(0)=h(0)\Rightarrow{g(x)\leq{h(x)}} \) considerando las funciones \( f(x)\wedge w(x)=\displaystyle\frac{x}{b}\Rightarrow{f'(x)\wedge w'(x)=\displaystyle\frac{1}{b}} \) respectivamente, averiguando bajo que condiciones se cumple :

\( f'(x)\leq{w'(x)}\Rightarrow{\displaystyle\frac{1}{1+be^{f(x)}}\leq{\displaystyle\frac{1}{b}}}\Rightarrow{e^{f(x)}\geq{1-\displaystyle\frac{1}{b}}} \) Condición

Observa que f(x) es creciente y su menor valor es 0, en consecuencia \( e^{f(x)} \) es creciente y siempre será mayor e igual que 1 y en consecuencia \( \forall{x}\geq{0}, \ \ e^{f(x)}\geq{1-\displaystyle\frac{1}{b}} \) luego se cumple la Condición y esto implica que \( f'(x)\leq{w'(x)}\Rightarrow{.....} \)



Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

(b) Para a un número real positivo, calcule:
\( \displaystyle\int_{0}^{a}\displaystyle\int_{0}^{b}e^{max\{(a^2/b^2)x^2,y^2\}}dxdy \)

Muchas gracias!

\( max\{(a^2/b^2)x^2,y^2\}=\begin{cases}{y^2}&\text{si}& x\in (0,yb/a)\\(a^2/b^2)x^2 & \text{si}& x\in (yb/a,b)\end{cases} \)

Esto te permite dividir la integral en:

\( \displaystyle\int_{0}^{a}\displaystyle\int_{0}^{b}e^{max\{(a^2/b^2)x^2,y^2\}}dxdy=\displaystyle\int_{0}^{a}\displaystyle\int_{0}^{yb/a}e^{y^2}dxdy+\displaystyle\int_{0}^{a}\displaystyle\int_{yb/a}^{b}e^{(a^2/b^2)x^2}dxdy \)

Entonces:

\( \displaystyle\int_{0}^{a}\displaystyle\int_{0}^{yb/a}e^{y^2}dxdy=\dfrac{b}{a}\displaystyle\int_{0}^{a}ye^{y^2}dy=\dfrac{b}{2a}\left.e^{y^2}\right|_0^a=\dfrac{b}{2a}(e^{a^2}-1) \)

Para la otra cambiamos el orden de integración:

\( yb/a\leq x\leq b\quad \Leftrightarrow{}\quad y\leq ax/b, x\leq b \)

\( \displaystyle\int_{0}^{a}\displaystyle\int_{yb/a}^{b}e^{(a^2/b^2)x^2}dxdy=\displaystyle\int_{0}^{b}\displaystyle\int_{0}^{ax/b}e^{(a^2/b^2)x^2}dydx=
\displaystyle\int_{0}^{b}(xa/b)e^{(a^2/b^2)x^2}dx=\dfrac{b}{2a}\left.e^{(a^2/b^2)x^2}\right|_0^b=\dfrac{b}{2a}(e^{a^2}-1) \)

Saludos.