Buenas tardes, como están? Ando bastante trancada con este ejercicio porque no me estaria saliendo, me podrian dar algunas indicaciones de como se resuelve? Para tener una idea. Gracias
4. Encontrar las ecuaciones de la función cuadrática:
\( y=ax^2+bx+c \),
en los siguientes casos:
i) Si sabemos que verifica \( f(x)=0 \) y \( f(-1)=f(1)=1 \).
ii) Si sabemos que \( a=1 \) y verifica \( f(-1)=5 \) y \( f(2)=2 \).
iii) Si sabemos que \( b=0 \) y el gráfico de la parábola correspondiente pasa por los puntos \( (1,3) \) y \( (0,1) \).
iv) Si sabemos que \( c=0 \) y el gráfico de la parábola correspondiente pasa por los puntos \( (1,0) \) y \( (2,-4) \).
Te ayudo con uno de los problemas y que te de una idea de cómo proceder con los otros.
Se entiende que \[ f(x)=y \]
Tienes \[ f(0)=0,\qquad f(-1)=f(1)=1 \]
Entonces sustituyendo en la ecuación \[ y=ax^2+bx+c \], cada par:
f(0)=0\( 0=a(0)^2+b(0)+c\quad\Rightarrow\quad 0=c \)
f(-1)=1\( 1=a(-1)^2+b(-1)+\cancelto{0}{\color{red}\bf c}\quad\Rightarrow\quad a-b=1 \)
f(1)=1\( 1=a(1)^2+b(1)+\cancelto{0}{\color{red}\bf c}\quad\Rightarrow\quad a+b=1 \)
Entonces se debe resolver el sistema para encontar el valor de a y b
\begin{cases}a-b=1\\a+b=1\end{cases}
Podemos sumar las ecuaciones porque la ecuación resultante eliminará la incógnita b. La ecuación resultante es la siguiente:
\[ 2a=2\quad\Rightarrow\quad a=1 \]
Por tanto b=0. Esto lo puedes probar en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema.
Entonces la ecuación resultante es:
\[ \bf y=x^2 \]
Saludos
