Hola
Me expresé mal, dije algo distinto a lo que pensaba. Me preguntaba si valdría dividir numerador y denominador entre la potencia más grande del numerador o denominador, cualquiera de las dos.
En principio vale cualquiera de las dos. Si divides por la potencia más grande del numerador y el denominador todavía tiene una potencia mayor, al tomar límites en el numerador te quedará una constante y en el denominador infinito. El cociente corresponde a límite cero.
Algo parecido si haces lo contrario.
No obstante,
si tuviera que quedarme con una opción yo elegiría dividir por la potencia mayor del denominador; eso te garantiza que en el denominador queda una constante no nula. Y en el numerador o bien una constante o bien un límite que será cero o más o menos infinito. Esto facilita determinar el signo en el caso de que uno quiera saber si el límite es más o menos infinito.
Por ejemplo si tienes:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\dfrac{-x^5+3x^2+1}{-x^2-x+2} \)
Si divides por la mayor potencia del denominador, \( x^2 \), te queda:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\dfrac{-x^3+3+\dfrac{1}{-x^2}}{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}}=\dfrac{-(\infty)^3}{-1}=+\infty \)
Si divides por la mayor potencia del numerador, \( x^5 \), te queda:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\dfrac{-1+\dfrac{3}{x^3}+\dfrac{1}{x^2}}{-\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{2}{x^5}}=\dfrac{-1}{0}=\pm \infty \)
La diferencia en este último caso es que no es tan obvio si no se analiza con cuidado si el límite es más o menos infinito.
Saludos.
