Hola
Estoy haciendo una introducción al análisis matemático y me surgió una duda con respecto a los intervalos.
El libro que estoy usando es Análisis matemático de Haaser, LaSalle y Sullivan. En él se plantea que la caracterización de los intervalos es que un conjunto de números reales \( S \) es un intervalo si para cualesquiera dos puntos \( x_1 \), \( x_2 \) \( \in S \), se cumple que \( \left<{x_1 , x_2}\right>\subseteq{S} \). Bajo esta característica, ¿se podrían considerar intervalos de solo racionales?
Les agradeceré si pueden ayudarme con esta duda
Creo que entiendo lo que quieres decir (si te interpreto mal, no me hagas caso y ya está).
Supongo que es más que nada el uso de la palabra en las distintas definiciones.
Los racionales pertenecen a \( \mathbb{R} \), luego considerarlos está dentro de lo que define, no dice nada de que tengan que ser todos (al menos en esa definición). Los elementos x,y tienen que pertenecer a S, son cualesquiera de S, que en este caso tuyo serían sólo los racionales; no veo que pase nada, se entiende que S (o yo entiendo) es un subnconjunto que no tiene por qué ser todo \( \mathbb{R} \) necesariamente; y tampoco se dice nada de que tenga que ser conexo o no discreto o como se diga (yo no soy matemático, puede que no use las palabras correctas, pero supongo que se me entiende).
*(
a no ser que se asuma que los contenedores <> hacen referencia a cualquier \( x\in\mathbb{R} \) tal que \( x_{1}<x<x_{2} \); si fuera así, entonces no puedes considerar un conjunto sólo de racionales; eso no sé si se entiende así).
Ahora bien, mirando en internet, hay otras definiciones que sí, que dicen que los números contenidos deben corresponderse con todos los puntos de un segmento de la recta real, es decir, que la cantidad de elementos del intervalo es igual al cardinal de los reales.
Personalmente, en mi opinión, me parecen muy limitantes esas últimas definiciones y (a partir de los muchos años que llevo en el foro) nunca he visto que los matemáticos de aquí se quejen de que alguien use la palabra “intervalo” restringida a los racionales, enteros o naturales. Sólo una vez (fuera del foro y hace muchos años) hablando sobre algo relacionado con la conjetura de Goldbach, alguien me dijo que eso (un conjunto de naturales tipo 2,3,4, por ejemplo) no era un intervalo; pero el que me lo dijo era físico, no matemático.
Porque... ¿cómo llamamos entonces a un subconjunto de naturales consecutivos? No tenemos demasiadas palabras adecuadas; le pido a internet que me dé sinónimos y ninguno es bueno del todo: “alto, descanso, distancia, transcurso, ínterin, interludio, intermedio, pausa, espera, tregua, espacio, hueco”.
Saludos.
