[Florecilla]

Hola! Me gustaría saber como analizo la convergencia de la siguiente integral:

\( F(t) = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \displaystyle\frac{log(1+t^2x^2)}{1+x^2} dx; t\geq{0} \)

[Juan Pablo Sancho]

Si \( t=0 \) converge si \( t > 0 \) tenemos que para \( x \geq 1 \)
\( \dfrac{\log(1+t^2 \cdot x^2)}{1+x^2} < \dfrac{\log(1+t^2 \cdot x^2)}{x^2} = \dfrac{\log(1+(tx)^2)}{x^{0.5}} \cdot \dfrac{1}{x^{1,5}}  \).
Sólo falta ver que :
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}  \dfrac{\log(1+(tx)^2)}{x^{0.5}} = 0 \)

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